¿Qué es un ejemplo simple de un límite en el mundo real?

Question

Esta mañana, leí en la Wikipedia la definición informal de límite:

De manera informal, una función f asigna una salida de $f(x)$ a cada entrada de $x$. El la función tiene un límite de $L$ a una entrada de $p$ si $f(x)$ es "cercano" a $L$ siempre $x$ es "cercano" a $p$. En otras palabras, $f(x)$ se convierte más y más a $L$ como $x$ se mueve más y más a $p$.

Para mí eso suena como algo que podría ser mejor descrito como un 'target'.

Si me tomo una función simple, decir que sólo multiplica la entrada por $2$; y si mi límite es $10$ a una entrada de $5$: entonces yo he descrito algo que parece coincidir con los elementos contenidos en Wikipedia la definición. Yo no creo que es correcto. A mí me parece elemental-problema de álgebra ($2p = 10$). Para hacerlo más calculusy, yo podría gráfico de la función de salida al utilizar los insumos de $p$, pero que realmente no me dan nada, pero una ilustración del hecho de que la respuesta se mueve más lejos de la respuesta correcta a medida que se vuelve más equivocado (go figure).

Así que los límites son importantes; lo que acabo de describir es trivial. No entiendo a ellos. Sé el cálculo se utiliza a menudo para resolver los desafíos del mundo real, y que los límites son un importante elemento de cálculo, así que yo supongo que debe de haber algunos simples ejemplos del mundo real de qué es lo que los límites de describir.

¿Qué es un simple ejemplo de un límite en el mundo real?

Gracias

-Hal.

Answer 1

Su ejemplo de un límite es un límite que es fácil de evaluar, pero aún así es perfectamente razonable ejemplo!

He aquí otro bastante fácil de captar ejemplo de un límite que evita la trivialidad.

Si me siguen lanzando una moneda como el tiempo que lleva, ¿qué probabilidad tengo nunca la sacudida de la cabeza?

Se reformula como un problema de límite, podríamos decir

Si me lanzas una moneda $N$ veces, żcuál es la probabilidad de $p(N)$ que aún no me he arrojado de cabeza? Ahora, ¿cuál es el límite de $N\to\infty$$p(N)$?

La matemática de la respuesta a esto es $p(N)=\left(\frac{1}{2}\right)^N$. A continuación, $$\lim_{N\to\infty}p(N) = 0$$ debido a $p=\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \ldots$ se acerca más y más cerca de cero como $N$ está "más cerca de $\infty$".

Answer 2

La lectura de su velocímetro (por ejemplo, 85 km/h) es un límite en el mundo real. Tal vez crees que velocidad es velocidad, por qué no de 85 kilómetros por hora. Pero de hecho su velocidad está cambiando continuamente durante el tiempo y el sólo "sólido", es decir, datos "ilimitados" que tiene están que le tomó exactamente 2 horas para conducir 150 km de la A la B. La figura que le da su velocímetro es en cada instante $t_0$ de su viaje el límite $$v(t_0):=\lim_{\Delta t\to0}{s(t_0)-s(t_0-\Delta t)\over\Delta t}\ ,$ $ donde $s(t)$ denota la distancia recorrida hasta tiempo $t$.

Answer 3

Un buen ejemplo es continua capitalización de intereses. Supongo que el dinero en su cuenta bancaria tiene una tasa de interés anual $r$ y que se agrava $n$ veces por año. Si usted tenía inicialmente $M_0$ dólares en su cuenta, a continuación, después de $t$ años su dinero ha crecido a $$ M_0\left(1+\frac{r}{n} \right)^{nt}. $$ En el procesamiento continuo de su dinero se agrava cada infinitesimal paso de tiempo. Esto es un poco no riguroso, pero usted puede pensar acerca de como tomar el número de veces por año, su cuenta se complica hasta el infinito: $$ \lim_{N\to\infty} M_0\left(1+\frac{r}{n} \right)^{nt} = M_0e^{rt} $$ la bien conocida fórmula para el procesamiento continuo.

Answer 4

Es difícil para mí se apartan de los confines de las matemáticas al mundo real, así que te voy a dar este "ejemplo":

Los límites son súper importantes porque sirven como base para las definiciones de los 'derivado' y 'integral', las dos estructuras fundamentales en el Cálculo! En ese contexto, los límites nos ayudan a entender lo que significa "ser arbitrariamente cerca de un punto", o "ir hasta el infinito". Esas ideas no son triviales, y es difícil colocarlos en un riguroso contexto sin la noción de límite. De manera más general, el límite que nos ayuda a mover desde el estudio de la discreta cantidad continua, la cantidad, y que es de primordial importancia en el Cálculo, y las aplicaciones de Cálculo.

Para aplicar esta noción a la física (sí, me estoy alejando de matemáticas ahora), es posible aplicar un continuo análisis de movimiento. Nos gustaría ser capaces de medir instantáneo de la velocidad, lo que requiere la noción de una instantánea de valor. Ahora, esto depende del concepto de límite. Es decir, queremos medir una cantidad en un instante, y definimos esta "instantánea" de un límite, es decir, como un enfoque hacia algún tiempo infinitesimal. Esto es cómo íbamos a responder, por ejemplo, el tópico de la pregunta "¿qué tan rápido se le va a tiempo $x$?".

Answer 5

Para mover en línea recta desde A B, tienes que llegar al 1/2 punto C entre A y B. Para llegar desde C hasta B, tienes que alcanzar el punto medio de la línea CB.
A medida que continúe el movimiento 1/2 la distancia restante que tendrá siempre una pequeña parte a la izquierda entre usted y el punto B. B se llama el límite. Se Haz infinitamente cerca de ella, pero nunca llegar al punto B.