La colocación del cuantificador hace alguna diferencia en los siguientes ejemplos.

Question

Tengo problemas para entender si la colocación cuantificador de la materia en los siguientes problemas.

Problema Uno: Nadie en la clase de cálculo es más inteligente que todo el mundo en el discretos en la clase de matemáticas.

Sea S(x,y) soporte para "x es más inteligente que y", D(x) "x es discreta en la clase de matemáticas", y C(x) soporte para "x está en clase de cálculo."

Mi análisis de inglés de la declaración en forma lógica fue este:

$\neg \exists_x \forall_y [(C(x) \land D(y)) \to S(x,y)]$

Sin embargo ,los libros de la respuesta fue la siguiente:

$\neg \exists_x [(C(x) \land \forall_y (D(y) \to S(x,y))]$

He aquí otro ejemplo:

Problema Dos: quien tiene un amigo que tiene el sarampión será puesto en cuarentena

Sea F(x,y) soporte para "x e y son amigos", M(x) soporte para "x tiene el Sarampión" y Q(x) soporte para "x será puesto en cuarentena."

Esta fue mi respuesta: $\forall_x \exists_y [(F(x,y) \land M(y)) \to Q(x)]$

Esta fue la respuesta libros:

$\forall_x [\exists_y(F(x,y) \land M(y)) \to Q(x)]$

¿Mi análisis lógico de los ingleses declaración de cambiar el significado inglés de la declaración? En otras palabras, es mi traducción lógica una representación incorrecta de los ingleses declaración? Es que mis respuestas y el autor de las respuestas aceptables para la representación de los ingleses declaraciones?

Answer 1

El libro respuesta a (1) es correcta. Ahora,

$$\neg \exists x [(C(x) \land \forall y (D(y) \to S(x,y))]$$

es equivalente a

$$\neg \exists x\forall y [(C(x) \land (D(y) \to S(x,y))]$$

[El principio importante es que $(C \land \forall y\varphi(y)) \equiv \forall y(C \land \varphi(y))$, cuando se $C$ no contiene la variable ligada.] Pero tenga en cuenta el horquillado de aquí! $A \land (B \to C)$ no es lo mismo que $(A \land B) \to C$. Usted ha perdido las llaves en la forma prenex.

El libro respuesta a (2)

$$\forall x[\exists y(F(x,y) \land M(y)) \to Q(x)]$$

también es correcta. Es claramente equivalente a, a su vez,

$$\forall x[\neg\exists y(F(x,y) \land M(y)) \lor Q(x)]$$

$$\forall x[\forall y\neg (F(x,y) \land M(y)) \lor Q(x)]$$

$$\forall x\forall y[\neg(F(x,y) \land M(y)) \lor Q(x)]$$

$$\forall x\forall y[(F(x,y) \land M(y)) \to Q(x)]$$

Y, evidentemente, que el pasado, en particular, también es una traducción correcta. "Quien tiene un amigo que tiene el sarampión en cuarentena", dice que tomar cualquiera de las dos personas $x$, $y$, si $x$ $y$ como un amigo que tiene sarampión, a continuación, $x$ va a ser puesto en cuarentena. Usted tiene el mal par de cuantificadores en la forma prenex.

[El contexto general el principio de que se debe mantener en mente es $(\exists x\varphi x \to C) \equiv \forall x(\varphi x \to C)$. En efecto, de un lado de esta equivalencia se presenta sustituido por el otro después de la inicial cuantificador en la wff aquí. Más detenidamente, podemos obtener desde la primera hasta la última wff formalmente por crear el cuantificador, utilizando la equivalencia, y luego generalizar.]

Answer 2

Un problema: Si $\exists_x \neg C(x)$ entonces sería cierto que $\forall_y[(C(x)\wedge D(y))\to S(x,y)]$ $x$, en cuyo caso su declaración sería falsa pero la declaración del libro podría seguir siendo verdadero.

Problema dos: Si hay un $x$ que no es amigo de una $y_1$ pero es amiga de una $y_2$ que tiene sarampión aún no se pone en cuarentena $x$, su declaración puede permanecer cierto pero el libro es falso.

Así ninguna de sus afirmaciones son lógicamente equivalente a lo que tiene el libro.

Answer 3

En el problema 1, tu respuesta es incorrecta, pero no debido a la colocación del cuantificador. Respuesta del libro seguiría siendo correcto si $\forall y$ fueron trasladado a venir entre $\exists x$ y el corchete izquierdo. El error en tu respuesta tiene $C(x)$ como parte del antecedente de la implicación; deben ser sumado a la implicación todo, como en la respuesta del libro, no el antecedente $D(y)$.