Funciones en el Teorema principal de Ramanujan.

Question

Maestro de Ramanujan teorema Estados que - Supongamos que te tiene una función

$$F(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac {w(k)(-x)^k}{k!}$$

para algunos la función (decir analítica o integrable) $w(x)$. Entonces

$$I=\int_0^\infty x^{n-1}F(x)dx= \Gamma(n)w(-n).$$

Aquí estoy tratando de encontrar algunas interesantes funciones $w(x)$ tal que $I$el % tiene resultados interesantes. Por ejemplo $w(x)=1$ da $I=e^x$. Sabio puede por favor alguien me da algunos interesantes % de casos $w(x)$y $I$.

Answer 1

Como una aplicación importante, esta fórmula se utiliza para demostrar que los valores de la Riemann zeta función en los números enteros negativos se $\zeta(1-n)=-B_n/n$ donde $B_n$ son los números de Bernoulli. En ese caso, se $F(x) = x/(e^x-1)$, la costumbre, la generación de la función de los números de Bernoulli.

La fórmula puede ser formulada señalando vagamente que

Los valores en números enteros de la transformada de Mellin de una función son sus coeficientes de Taylor.

No es necesario que los coeficientes de Taylor provienen de una analítica de la función $\omega$, que puede ser cualquier secuencia $a_n$, siempre y cuando el resultado de la función $F$ es bastante bueno. En este caso, es una consecuencia de la fórmula de que no es una elección canónica de una función de interpolación de la función $1-n \mapsto a_n$, es decir, la transformada de Mellin $F$, dividido por $\Gamma$. Si usted realmente piensa acerca de esto, es bastante sorprendente!