Conjunto de funciones propias mutuas o iguales si dos operadores hermitianos conmutan

Question

1. Si dos operadores conmutan, ¿tienen " un conjunto mutuo de las funciones propias", o " el mismo conjunto de las funciones propias"? Mi libro de química cuántica los utiliza como si fueran intercambiables, pero no parecen ser lo mismo de manera muy significativa.

2. Una consecuencia directa de mi confusión con respecto a esto surge al considerar los operadores de momento angular y el hecho de que: $$[\hat{L}^2, \hat{L}_x] = [\hat{L}^2, \hat{L}_y] = [\hat{L}^2, \hat{L}_z] = 0$$ lo que implica que $\hat{L}^2$ comparte un conjunto mutuo de funciones propias con $\hat{L}_x, \hat{L}_y,$ y $\hat{L}_z$ . Sin embargo, los armónicos esféricos (que yo pensaba que eran los sólo funciones propias de $\hat{L}^2$ ) son sólo funciones propias de $\hat{L}_z$ y $\hat{L}^2$ ¡(al considerar estos 4 operadores)! Por lo tanto, ¿cuáles son las funciones propias que $\hat{L}^2$ comparte con $\hat{L}_x$ y $\hat{L}_y$ ya que sabemos que debe haber alguna por la relación de conmutación. (Entiendo que podemos redefinir qué eje es x, y, y z, pero mi punto es que sólo uno de los tres ejes puede tener su operador de momento angular tener los armónicos esféricos como eigenfunciones independientemente de cómo se definen los ejes).

3. $\hat{L}_x$ , $\hat{L}_y$ y $\hat{L}_z$ no conmutan entre sí, pero los tres conmutan con un cuarto operador común como ya se ha mencionado, $\hat{L}^2$ ¡! No tiene sentido para mí cómo es posible que $A$ para desplazarse con $B$ y $B$ para desplazarse con $C$ Sin embargo, $A$ para no viajar con $C$ .

4. Si dos operadores no conmutan, ¿pueden compartir, por ejemplo, 1 función propia, o no deben compartir ninguna función propia?

Cualquier respuesta que no presuponga una amplia formación matemática más allá de las ecuaciones diferenciales y el álgebra lineal básica será muy apreciada. Estoy cursando el primer semestre de química cuántica. Gracias.

Answer 1

Supuestos: Sólo hablaré de operadores hermitianos (más generalmente autoadjuntos). Esto significa que supondré que los operadores en cuestión tienen un conjunto de vectores propios que abarcan el espacio de Hilbert. Como mencionó tomasz en un comentario, esto no es exactamente necesario, ya que se pueden hacer afirmaciones más generales, pero como estamos tratando con QM básica, me imagino que esta simplificación es razonable.

Preguntas 1 y 2

La afirmación es que si dos operadores conmutan, entonces existe una base para el espacio que es simultáneamente una base propia para ambos operadores. Sin embargo, si (por ejemplo) uno de los operadores tiene dos vectores propios con el mismo valor propio, cualquier combinación lineal de esos dos vectores propios es también un vector propio de ese operador, pero esa combinación lineal podría no sea un vector propio del segundo operador.

Un ejemplo: consideramos los estados $|l,m\rangle = |1,1\rangle$ y $|l,m\rangle = |1,-1\rangle$ . Ambos son vectores propios de $\hat{L}^2$ y $\hat{L}_z$ . Los valores propios de $\hat{L}_z$ son $\hbar$ y $-\hbar$ respectivamente, pero el estado $$|1,1\rangle + |1,-1\rangle$$ es claramente no un vector propio de $\hat{L}_z$ pero es sigue siendo un vector propio de $\hat{L}^2$ . Esto es probablemente por qué utilizamos el término "mutuo" en lugar de "igual". Por último, formamos combinaciones lineales de los $|1,m\rangle$ estados para obtener el $l=1$ estados que son vectores propios de, por ejemplo, $\hat{L}_y$ .

Como ejemplo sencillo, considere las siguientes dos matrices: $$L = \left[ {\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}} \right]$$ y $$Z = \left[ {\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}} \right].$$ Los vectores $(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ y $(0,0,1)$ son vectores propios de ambos operadores. Los dos últimos son vectores propios de $L$ con el mismo valor propio (es decir $1$ ), pero son vectores propios de $Z$ con diferentes valores propios (a saber, $1$ y $-1$ ). Si en cambio utilizamos los vectores $(0,1,1)$ y $(0,1,-1)$ , estos siguen siendo vectores propios de $L$ con valor propio $1$ pero ya no son vectores propios de $Z$ como puede comprobar.

Pregunta 3

Como ha señalado hábilmente Chris White en un comentario, el operador de identidad conmuta con todos los demás operadores y, sin embargo, hay operadores que no conmutan entre sí. Este es el más simple de los contraejemplos a su intuición. La conmutatividad no es una propiedad transitiva.

No sé si tu intuición sobre el problema era matemática o física. Si era física, entonces es algo a lo que hay que acostumbrarse, porque es parte de la naturaleza que las cosas funcionen así. Si es matemática, tal vez el contraejemplo que hemos dado más arriba te ayude.

Como ejemplo sencillo, añada a las matrices anteriores la matriz $$X = \left[ {\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}} \right]$$ Este operador conmuta con $L$ pero no $Z$ .

Pregunta 4

Ciertamente, está bien que dos operadores que no conmutan compartan un vector propio. De hecho, $\hat{L}_x$ , $\hat{L}_y$ y $\hat{L}_z$ comparten un vector propio: el estado $|l,m\rangle = |0, 0\rangle$ .

Como ejemplo más trivial de operadores que comparten un vector propio que no conmutan, consideremos los dos siguientes: $$A = \left[ {\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}} \right]$$ y $$B = \left[ {\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}} \right]$$ Comparten claramente el vector propio $(1,0,0)$ pero los bloques inferiores de las matrices A y B son, respectivamente, las Pauli- $z$ y Pauli- $x$ matrices, que no conmutan.

Answer 2

1. Solemos decir que si dos operadores, $\hat{A}$ y $\hat{B}$ de viaje, entonces tienen un simultáneamente conjunto de estados propios. Decir que los estados propios son los mismos no es realmente correcto.

Por ejemplo, que el operador $\hat{A}$ sean hermitianos y actúen sobre elementos del espacio de Hilbert $\mathcal{H}_A$ y que el operador $\hat{B}$ también son hermitianos y actúan sobre elementos del espacio de Hilbert $\mathcal{H}_B$ y que $\mathcal{H}_A \ncong \mathcal{H}_B$ para que los dos espacios estén claramente diferenciados.

Por el teorema espectral, $\hat{A}$ tiene un conjunto de vectores propios $\lvert \psi_{a_n} \rangle$ con valores propios reales $a_n$ que forman una base para $\mathcal{H}_A$ y de forma similar para $\hat{B}$ , $\lvert \phi_{b_n} \rangle$ , $b_n$ y $\mathcal{H}_B$ . Entonces, cualquier estado de la forma $\lvert \psi_{a_n} \rangle \times \lvert \phi_{b_n} \rangle$ es un simultáneamente vector propio de ambos $\hat{A}$ y $\hat{B}$ Sin embargo, los conjuntos de estados $\lvert \psi_{a_n} \rangle$ y $\lvert \phi_{b_n} \rangle$ son ciertamente no es lo mismo ni siquiera son elementos del mismo espacio.

2. Recordemos que en el sistema de coordenadas esféricas del físico, $\theta \in [0, \pi]$ es el ángulo acimutal medido desde el $+ \hat{z}$ eje y $\phi \in [0, 2\pi]$ el ángulo polar. Así, los armónicos esféricos que se ven en la Wikipedia han elegido implícitamente un eje particular que se llama $\hat{z}$ .

Como usted señala, el eje que llamamos es arbitrario. Así, las funciones propias simultáneas de $\hat{L}^2$ y $L_x$ o $L_y$ puede escribirse de la misma forma que los armónicos esféricos, salvo que ahora dejamos que $\theta \to \theta_x$ o $\theta \to \theta_y$ sea un ángulo acimutal que mide los ángulos con respecto al $x$ o $y$ y luego dejar que $\phi \to \phi_x$ o $\phi_y$ sea el ángulo polar correspondiente. Esencialmente lo que estamos haciendo aquí es simplemente barajar qué etiqueta ponemos en cada eje.

Lo que tenemos son tres diferentes representaciones de la el mismo conjunto de funciones propias de $\hat{L}^2$ . Dado que se trata de representaciones equivalentes, podemos escribir con seguridad las funciones propias simultáneas de $\hat{L}^2$ y $\hat{L}_x$ como una combinación lineal de las funciones propias de $\hat{L}^2$ y $\hat{L}_z$ que te dejo como un ejercicio que vale la pena.

3. El comentario de Chris White deja claro que no siempre debemos confiar en nuestra intuición. Si la conmutatividad fuera transitiva, como sugieres, nos veríamos obligados a concluir que todos los operadores se conmutan.

4. Los operadores pueden ciertamente compartir algunas eigenfunciones simultáneas aunque no conmuten. Por ejemplo, $Y_0^0$ no contiene ningún $\theta$ o $\phi$ en sus representaciones habituales, por lo que es el mismo independientemente de cómo se etiqueten los ejes. $Y_0^0$ es entonces una función propia de todas las $\hat{L}^2$ , $\hat{L}_x$ , $\hat{L}_y$ y $\hat{L}_z$ .

Que los operadores no conmutantes compartan alguna o ninguna función propia depende exactamente de cuál sea su conmutador.