Demostrando la Convolución de Pdf la da un PDF

Question

Estoy luchando con una pregunta acerca de la convolución de archivos Pdf, en particular, demostrando que dadas dos PDFs $f$$g$, entonces su convolución $f*g$, también será un PDF. Demostrando la no negatividad es fácil, pero estoy luchando para mostrar que la integral tiene el valor de $1$. Aquí está mi prueba hasta el momento:

Tenga en cuenta que todas estas integrales son evaluados a lo largo de los reales. $$\int (f*g)(x)\text{d}x = \iint f(y)g(x-y) \text{d}y \text{d}x$$

Deje $ z = x-y $ \begin{align*} \iint f(y)g(z)\text{d}y\text{d}z&= \int f(y) \text{d}y \int g(z) \text{d}z\\ &= 1 \end{align*}

Tengo la respuesta, pero creo que he cometido un error con el cambio de los límites de la sustitución cuando se me presento la nueva variable $z$. Cualquier consejo sería muy apreciada.

Answer 1

Usted está mirando a un resultado final en lugar de donde la convolución de vino. A partir de un punto anterior hace que la prueba sea más fácil.

Si $X$ $Y$ son independientes de las variables aleatorias con densidades $f$ $g$ respectivamente, entonces \begin{align} P\{X+Y \leq z\} &= \int_{-\infty}^\infty P\{X+Y \leq z \mid Y = y\}g(y)\,\mathrm dy & \scriptstyle{\text{law of total probability}}\\ &= \int_{-\infty}^\infty P\{X \leq z-y \mid Y = y\}g(y)\,\mathrm dy\\ &=\int_{-\infty}^\infty P\{X \leq z-y\}g(y)\,\mathrm dy& \scriptstyle{\text{independence of}~X~\text{and}~Y}\\ P\{X+Y \leq z\} &=\int_{-\infty}^\infty \left[ \int_{-\infty}^{z-y} f(x)\,\mathrm dx\right]g(y)\,\mathrm dy \tag{1} \end{align} Tenga en cuenta que el lado izquierdo de $(1)$ tiene valor limitante $1$ $z \to \infty$; de hecho, el valor de la integral doble a la derecha está la CDF de la variable aleatoria $Z = X+Y$. El Teorema Fundamental del Cálculo aplicado a $(1)$ nos da $$f_{X+Y}(z) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dz}P\{X+Y \leq z\} = \int_{-\infty}^\infty f(z-y)g(y)\,\mathrm dy = f\estrella g$$ y así $\displaystyle \int_{\mathbb R} f\star g = 1$ como usted desea probar.