Es f necesariamente continuamente diferenciable en condiciones dadas?

Question

$f_m:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es función de la serie que son integrables en cualquier segmento de los compactos , $2\pi$ periódico y $f_m \overset{u}{\rightarrow} f$ convergen uniformemente. Además para todos los $n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ y todos los $m\ge 1$ $$|\hat{f_m}|\le \frac{1}{|n|^3}$$

• Es f necesariamente continuamente diferenciable en condiciones dadas? demostrar o dar un contraejemplo.
• ahora sabes que $f_m$ es continua para todos los $m$ es f necesariamente continuamente diferenciable ahora ? demostrar o dar un contraejemplo.

ya no tenemos que $f_m$ es continuo en la primera pregunta estoy tratando de usar para "construir" un contador de ejemplo para la primera pregunta .

pero no puedo entender por qué se nos dan información acerca de los coeficientes de fourier y cómo usarlo .

no tienen ni idea sobre la segunda pregunta y, en general, de cómo uno puede demostrar que una función continuamente diferenciable si la función no es conocida.

Answer 1

Voy a suponer que la desigualdad es $$ |\widehat{(f_m)}_n|\le\frac{1}{n^3}\quad\forall n\in\mathbb{Z}. $$ Desde $f_m\to f$ uniformemente, se sigue que $$ |\sombrero f_n|\le\frac{1}{n^3}\quad\forall n\in\mathbb{Z}. $$ La serie de Fourier de $f$ converge uniformemente, así como la serie derivada término por término. Sin embargo, sólo se sabe que $f_m$ $f$ son integrables. Podríamos cambiar sus valores en un conjunto finito de puntos y los coeficientes de Fourier sería el mismo. No podemos concluir que la suma de la serie de Fourier es igual a $f$. Considere por ejemplo, $f$ periódico extensión de $f(x)=0$ si $0<x<2\,\pi$$f(0)==1$. Todas las condiciones se cumplen, sino $f$ no es continua.

Si sabemos que $f$ es continua, será igual a la suma de la serie de Fourier, que es un $C^1$ función de la causa de la decadencia de los coeficientes de Fourier.