Pregunta en el espacio métrico compacto.

Question

Es el conjunto de los racionales en $[0,1]$ compact?

Me parece que cada abrir la cubierta debe tener un número finito de sub-abarca, sin embargo, he leído que compacta métrica espacios completa...

Answer 1

No, no es compacto: considere la posibilidad de la apertura de la tapa

$$\left\{\Bbb Q\cap\left[0,\frac{\sqrt2}2-\frac1n\right):n\ge4\right\}\cup\left\{\Bbb Q\cap\left(\frac{\sqrt2}2+\frac1n\right]:n\ge4\right\}\;.$$

Answer 2

Vale la pena señalar que si se compacta, entonces sería compacto en $\Bbb R$, ya que la inclusión del mapa de $\Bbb Q\hookrightarrow\Bbb R$ es continua, y la imagen continua de un compacto es compacto. Pero su imagen es $\Bbb Q\cap[0,1]$--donde $[0,1]$ denota el intervalo real, aquí. Esto no es cerrado en $\Bbb R,$, por lo que no compacto en $\Bbb R$. Así, por contrapositivo, la racional intervalo de $[0,1]$ no es compacto en $\Bbb Q$.

Answer 3

Utilice el hecho de que en un espacio métrico compacto, cada secuencia tiene una convergente larga. Pero , si tomamos la secuencia : $a_n:=1,1.4,1.414,... $ donde $a_n$ tiene los n primeros términos de la expansión decimal de $2^{1/2}$ . Esta secuencia no convergen en $\mathbb Q$, debido a $2^{1/2}$ es irracional. Lo mismo puede decirse para cualquier número irracional, de modo que usted puede construir uncountably-muchas secuencias que no convergen.

Answer 4

Sugerencias:

Definir

$$a_n:=\sum_{k=1}^n\frac1{2k^2}\implies\;\text{the sequence}\;\;\{a_n\}_{n\in\Bbb N}\subset K:=\Bbb Q\cap[0,1]\;\;\text{converges, yet}$$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{\pi^2}{12}\notin K\;,\;\;\text{and thus}\ldots$$

Answer 5

Otra posible respuesta:

Si $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ eran compactas, la inclusión en $\mathbb{R}$ obtener su máximo. ¿No es así?