Interpretación de $d\phi(z)$ en la geometría diferencial

Question

En "Ejercicios y Soluciones en Matemáticas", Ta-Tsien, 2ª Edición, ejercicio 3343.

Declaración del ejercicio

Deje $(\mathbb{H}, g)$ ser el de dos dimensiones del espacio hiperbólico, donde

\begin{equation} \mathbb{H} = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : y > 0\} \end{equation}

es la mitad superior del plano de $\mathbb{R}^2 = \mathbb{C}$ y la métrica $g$ está dado por

\begin{equation} g = \frac{dx^2 + dy^2}{y^2} \end{equation}

Supongamos que $a$, $b$, $c$ y $d$ son números reales tales que a $ad - bc = 1$. Definir

\begin{equation} \phi(z) = \frac{az + b}{cz + d} \end{equation}

para cualquier $z = x + \sqrt{-1} y$. Demostrar que $\phi$ es una isometría para $(\mathbb{H}^2, g)$.

Declaración de la respuesta

Para demostrar que $\phi$ es una isometría, los autores calculan:

\begin{equation} d\phi = \frac{a(dz)(cz+d) - c(dz)(az+b)}{(cz + d)^2} \end{equation}

y después de algunos cálculos, se concluye que, dado que:

\begin{equation} \Vert d\phi(z) \Vert^2 = \frac{d\phi(z) d\overline{\phi(z)}}{[Im \phi(z)]^2} = \frac{dx^2 + dy^2}{y^2} = \Vert dz \Vert^2 \end{equation}

a continuación, $\phi$ es una isometría.

Mi pregunta

¿Qué es la matemática de la naturaleza del operador $d$ en este contexto ? A mí me parece que en el fin de demostrar que $\phi$ es una isometría, uno tiene que probar que:

$g = \phi^* g$

es decir, que la retirada de $g$$\phi$$g$. En el contexto de la geometría diferencial, sólo he visto a $d\phi$ permanente para el exterior derivado de la $\phi$ o por el diferencial de mapas asociados a $\phi$.

De una manera más "intuitiva", teniendo en cuenta las pequeñas variaciones de la $\phi(z)$$z$, entiendo que un isomorfismo mapas de un pequeño incremento $dz$ a un pequeño incremento $d\phi(z)$. Pero me gustaría entender la geometría diferencial significado.

Es $dz$ diferencial de la forma, en el contexto de este ejercicio ? Entonces, ¿cuál es el significado preciso de $\Vert dz \Vert^2$ ? Es $d\phi(z)$ de la misma naturaleza que el $dz$ ? Es un vector de valores de forma diferenciada ?

Answer 1

$\newcommand{\vv}{\mathbf{v}}\newcommand{\Cpx}{\mathbf{C}}\DeclareMathOperator{\Im}{Im}$Desde $\phi:\Cpx \to \Cpx$ es meromorphic, $d\phi$ puede ser visto como el ordinario derivado de un complejo de valores de la función, como el exterior, derivados de un complejo de valores de $0$-forma, o como la diferencial total de una asignación (seguramente entre otras interpretaciones).

Para el puente de la clásica de cálculo diferencial y de lenguas modernas, vamos a $z$ $w$ denotar complejo de coordenadas, y escribir $w = \phi(z)$. La coordenada $1$formas de satisfacer $dw(\vv) = dz(\vv) = \vv$ por cada vector tangente $\vv$.

• El "clásico" regla de la cadena $dw = \phi'(z)\, dz$ tiene la expresión moderna $$ \phi^{*}(dw) = \phi'(z)\, dz. $$ De hecho, para cada vector tangente $\vv$, $$ \phi^{*}(dw)(\vv) = dw(\phi_{*}\vv) = \phi_{*}\vv = d\phi(z)(\vv) = \phi'(z)\, dz(\vv). $$

• Si escribimos $w = u + iv$,$dw = du + i\, dv$. El producto $$ dw\, d\bar{w} = du^{2} + dv^{2} $$ se refiere a la forma cuadrática en $\Cpx$ que envía un vector tangente $\vv$ a $$ dw(\vv)\, d\bar{w}(\vv) = \vv\bar{\vv} = \|\vv\|^{2}. $$ (Compare el producto tensor $$ dz \otimes d\bar{z} = (du \otimes du + dv \otimes dv) - 2i\, du \wedge dv, $$ que acepta dos vectores como entrada, tiene un no-cero de la parte imaginaria, etc.)

• Para la asignación a la mano, $w = \phi(z) = \dfrac{az + b}{cz + d}$, y por lo tanto $\phi^{*}(dw) = \dfrac{dz}{(cz + d)^{2}}$. Desde $\|dw\|^{2} := g = \dfrac{dw\, d\bar{w}}{(\Im w)^{2}}$ como una forma cuadrática, el final de la línea de la autora afirma computación $$ \phi^{*}g = \|\phi^{*}(dw)\|^{2} = \frac{\phi^{*}(dw)\, \phi^{*}(d\bar{w})}{(\Im w)^{2}} = \frac{\|\phi'(z)\|^{2}\, dz\, d\bar{z}}{(\Im \phi(z))^{2}} = \frac{dz\, d\bar{z}}{(\Im z)^{2}} = \|dz\|^{2} = g. $$