La generación de una $C_0$-semigroup en $L^2$

Question

Considere el operador lineal $$A : H^4(\mathbb{R}; \mathbb{R}) \to L^2(\mathbb{R};\mathbb{R})$$ defined by $u\mapsto -(1-\partial_{xx}^2)^2$. Show that $Un$ generates a $C_0$-semigroup on $L^2$.

Creo que me sugirió el uso de las transformadas de Fourier, por lo que he encontrado que \begin{align}F(Au)(\omega)&=F((-1+2\partial_{xx}^2-\partial_{xxxx}^4)u)(\omega)=(-1-2\omega^2-\omega^4)F(u)(\omega)\\ &=-(\omega^2+1)^2F(u)(\omega).\end{align}

Pero a partir de aquí yo estoy totalmente perdido. Sé que debo utilizar algunos como teorema de Hille-Yosida o Lumer–Phillips, pero no tengo idea de cómo combinarlo con transformadas de Fourier.

Gracias de antemano y feliz Año Nuevo!

Answer 1

El $C_0$ semigroup sería $$ T(t)u = F^{-1}(e^{-t(1+\omega^2)}F(u)), \;\;\; t \ge 0, $$ donde $F$, $F^{-1}$ son la transformada de Fourier y la inversa de la transformada de Fourier. Directamente se puede comprobar que $T$ $C_0$ semigroup.

Answer 2

Sé que debo utilizar algunos como teorema de Hille-Yosida o Lumer–Phillips, pero no tengo idea de cómo combinarlo con transformadas de Fourier.

En general, las transformadas de Fourier se utiliza en este contexto (cuando esté permitido) para demostrar la existencia y unicidad de solución para el resolvent ecuación de $(\lambda -A)u=f$, la cual es necesaria en la aplicación de la Hille-Yosida Teorema (para todos los $\lambda>0$) o Lumer-Phillips Teorema (para algunos $\lambda>0$).

Detalles:

Si desea aplicar la Hille-Yosida Teorema, se tiene que mostrar (entre otras cosas) que cada una de las $\lambda>0$ pertenece a $\rho(A)$.

En su caso, el operador $A:D(A)\subset X\to X$ está definido por $$D(A)= H^4(\mathbb R;\mathbb R),\qquad X=L^2(\mathbb R;\mathbb R), \qquad Au=-u+2u_{xx}-u_{xxxx}.$$

Así, fija $\lambda>0$, usted tiene que demostrar que: dado $f\in L^2(\mathbb R;\mathbb R)$, no existe un único $u\in H^4(\mathbb R;\mathbb R)$ tal que $$\lambda u+u-2u_{xx}+u_{xxxx}=f.\tag{1}$$

La prueba de la unicidad:

Deje $u$ ser una solución en $H^4(\mathbb R;\mathbb R)$$(1)$. Luego, tomando la transformada de Fourier, llegamos a la conclusión de que $$u=\left(\frac{\hat{f}}{\lambda +1+2x^2+ x^4}\right)^\vee.$$ Esto demuestra que $(1)$ tiene a lo más una solución en $H^4(\mathbb R;\mathbb R)$. $\square$

La prueba de la existencia:

Definir $$u=\left(\frac{\hat{f}}{\lambda +1+2x^2+ x^4}\right)^\vee.\tag{2}$$

Desde $\hat{f}\in L^2(\mathbb R;\mathbb R)$$\left|\frac{\hat{f}}{\lambda +1+2x^2+ x^4}\right|\leq |\hat{f}|$, se deduce que el $\frac{\hat{f}}{\lambda +1+2x^2+ x^4}\in L^2(\mathbb R;\mathbb R)$. Por lo tanto $u$ está bien definido y pertenece a $L^2(\mathbb R;\mathbb R)$. Tomando la transformada de Fourier de $(2)$, obtenemos $$(\lambda+1+2x^2+x^4)\hat{u}=\hat{f}\in L^2.\tag{3}$$ y por lo tanto $(1+x^4)\hat{u}\in L^2$, lo que implica que $u\in H^4(\mathbb R;\mathbb R)$. De $(3)$, $$\lambda \hat{u}+\hat{u}-2(\mathbf i x)^2\hat{u}+(\mathbf ix)^4\hat{u}=\hat{f}$$ y entonces, ya $u\in H^4(\mathbb R;\mathbb R)$, se deduce que $$\lambda u+u-2u_{xx}+u_{xxxx}=f.$$

Esto demuestra que $(1)$ tiene una solución en $H^4(\mathbb R;\mathbb R)$. $\square$

Addendum:

De $(2)$, $$\|(\lambda-A)^{-1}f\|_{L^2}=\|u\|_{L^2}=\|\hat{u}\|_{L^2}=\left\|\frac{\hat{f}}{\lambda +1+2x^2+ x^4}\right\|_{L^2}\leq \frac{1}{\lambda}\|\hat{f}\|_{L^2}=\frac{1}{\lambda}\|f\|_{L^2}$$ y así $$\|(\lambda-A)^{-1}\|_{\mathcal{L}}\leq \frac{1}{\lambda}\tag{4}$$ esta es una estimación que también tiene que ser demostrado en la aplicación de Hille-Yosida.