Deje $\mathcal O_K$ ser un dominio de Dedekind, $L$ la fracción de campo de $\mathcal O_K$. Deje $L/K$ ser finito, separables de extensión, no necesariamente Galois de grado $p$. Deje $N$ ser el normal de cierre de $L/K$. Deje $G=\text{Gal}(N/K)$$H=\text{Gal}(N/L)$.
Deje $\mathfrak p$ ser una de las primeras de $K$ (es decir, de $\mathcal O_K$). Deje $Q$ ser una de las primeras de $N$ sobre $\mathfrak p$. Deje $G_Q$ denotar la descomposición grupo de $Q$$K$. Entonces (como se discutió en Neukirch pg. 55) hay un bijection a partir del conjunto de doble cosets $H\backslash G/G_Q$ para el conjunto de $P_\mathfrak p$ de los primos de $L$ sobre $\mathfrak p$, dado por: $$H\backslash G/G_Q\rightarrow P_\mathfrak p, \quad H\sigma G_Q\mapsto\sigma Q\cap L$$
Ahora supongamos que el primer $\mathfrak p$ es unramified en $L$. A continuación, $\mathfrak p$ es también unramified en $N$.
Tenga en cuenta que hay $p$ cosets $H\sigma_1,\dots,H\sigma_p$ $H\backslash G$ donde $p=[L:K]$. Hay una acción de $G$ que permutes los cosets $H\sigma_i$ por derecho de multiplicación. Ellos observación clave es esta:
El tamaño de la órbita de la coset $H\sigma_i$ bajo la acción de la descomposición de grupo $G_Q$ es igual a la inercia grado de la prime $\sigma_iQ\cap L$$\mathfrak p$.
Para mostrar esto, en primer lugar observar que, para $\rho\in G_Q$ y $\sigma_i\in G$, $$H\sigma_i\rho=H\sigma_i \Longleftrightarrow \rho\in\sigma_i^{-1}H_{\sigma_iQ}\sigma_i$$ where $H_{\sigma_iQ}$ is the decomposition group of $\sigma_iQ$ over $L$.
Por lo tanto el tamaño de la órbita de $H\sigma_i$ $$[G_Q:\text{stab}(H\sigma_i)]=[G_Q:\sigma_i^{-1}H_{\sigma_iQ}\sigma_i]=[\sigma_iG_Q\sigma_i^{-1}:H_{\sigma_iQ}]=[G_{\sigma_iQ}:H_{\sigma_iQ}]$$
$[G_{\sigma_iQ}:H_{\sigma_iQ}]$ es igual a la inercia grado de $\sigma_iQ\cap L$$\mathfrak p$, lo que demuestra la afirmación anterior.
Ahora suponga que el grado de $p$ $L/K$ es la primera, y se supone que $\mathfrak p$ tiene dos factores primos $\mathfrak P_1$ $\mathfrak P_2$ $L$ de grado 1. Esto implica tenemos dos cosets $H\sigma_1$ $H\sigma_2$ que las órbitas bajo la acción de $G_Q$ son de tamaño 1. $G$ es una solución de grupo con una acción transitiva en la $p$ cosets $H\sigma_1,\dots,H\sigma_p$. Así, cada elemento de a $G_Q$ corrige los dos cosets $H\sigma_1$$H\sigma_2$, de modo que por el teorema dado en la Pista, cada elemento de a $G_Q$ debe corregir todos los cosets, por lo $G_Q$ particiones de la $H\sigma_i$ a $p$ distintas órbitas de cada uno de los elementos. Así, cada factor primo de $\mathfrak p$ $L$ es de grado 1 $\mathfrak p$.
