Cómo demostrar que $\frac{x}{1+x}$ es continua en x=1?

Question

Esto es lo que he hecho: $$\left|\frac{x}{1+x} - \frac{1}{1+1}\right| = \left|\frac{x-1}{2+2x}\right| = \left|x-1\right|\frac{1}{\left|2+2x\right|} < \epsilon $$

¿Cómo debo encontrar el límite inferior $\left|2+2x\right|$ ? ¿Debo introducir otra variable?

Answer 1

Puede suponer que $x \in (0,2)$ , digamos, para que $|2+2x| > 2$ . Por lo tanto, $\frac1{|2+2x|} < \frac12$ .

Answer 2

Es una composición de funciones continuas. La función de división sólo tiene una singularidad en 0, en nuestro caso, en x+1=0, pero nuestro caso es x=1, luego x+1=2. Entonces, una composición de funciones continuas es continua.