Cómo probar $\sqrt{r^2+c^2}$ es irracional

Question

Pregunta:

Que $a,b,c$ son números enteros y números de verdaderos $r$ y $$ar^2+br+c=0,ac\neq 0$ $

muestran que

$$\sqrt{r^2+c^2}$ $ es irracional.

Mi idea: ¿Tenga en cuenta que $$\sqrt{r^2+c^2}=\sqrt{r^2+(ar^2+br)^2}=r\sqrt{1+(ar+b)^2}$ $ entonces cómo proceder? Olimpiada Matemática de China del sur este problema ayer

Answer 1

Supongamos que $\sqrt{r^2+c^2}\in\mathbb{Q}$, y considerar dos casos:

Caso $b\ne0$.

Esto implica que $br+c=-ar^2\in\mathbb{Q}$ y, en consecuencia,$r\in\mathbb{Q}$.

Supongamos que $r=\frac{p}{q}$$\gcd(p,q)=1$. Desde $ap^2+bpq+cq^2=0$ llegamos a la conclusión, como de costumbre, que $p|c$$q|a$. Así que vamos a definir enteros $a'$ $b'$ $$a=qa'\quad\hbox{and} \quad c=pc'.$$

Ahora $$ \sqrt{r^2+c^2}=\frac{p}{q}\sqrt{1+(c'q)^2}=\frac{p}{q}\sqrt{n}\tag{1} $$ where $n=1+(c'q)^2\in\mathbb{N}$. This implies that $\sqrt{n}\in\mathbb{Q}$, because we assumed that $\sqrt{r^2+c^2}\in\mathbb{Q}$. It follows that $n$ is the square of an integer, which is absurd since $c'q<\sqrt{n}<c'q+1$. This contradiction proves the assertion, in this case.$\qquad\square$

Caso $b=0$.

Aquí tenemos a $r^2=-c/a>0$, por lo que $$\sqrt{r^2+c^2}=\frac{1}{2a}\sqrt{4c^2a^2-4ca}=\frac{1}{2a}\sqrt{n}\tag{2} $$ donde $n=4c^2a^2-4ca\in\mathbb{N}$. De nuevo. esto implica que $\sqrt{n}\in\mathbb{Q}$, debido a que asumimos que $\sqrt{r^2+c^2}\in\mathbb{Q}$. De ello se desprende que $n$ es el cuadrado de un número entero, lo cual es absurdo, ya $(2ca)^2< n<(2ca-1)^2$. Esta contradicción demuestra que la afirmación de que, en este caso también.$\qquad\square$