Pocas dudas sobre la formulación de uno de los axiomas de Peano

Question

Perdona si esta pregunta suena un poco estúpida; siempre he tenido problemas con los conceptos "lógicos" (implicaciones, afirmaciones "si y sólo si", cuantificadores, etc.) y he decidido abordar estos problemas de una vez por todas, pero sigo teniendo problemas con algunas cosas.

Considerando los axiomas de Peano, uno de los axiomas parece ser (viene de aquí ):

Dos números cuyos sucesores son iguales son a su vez iguales.

Pero el mismo axioma del Artículo de Wikipedia sobre los axiomas de Peano parece ser

Para todos los números naturales $m$ y $n$ , $m = n$ si y sólo si $S(m) = S(n)$ . Es decir, S es una inyección.

Por alguna razón, el "si y sólo si" me molesta mucho ; Wikipedia es el único lugar que encontré donde el axioma está formulado de esa manera, así que me preguntaba si había algún ejemplo de una situación en la que pudiéramos no tienen $n=m \Rightarrow n{++} = m{++}$ , justificando así la forma habitual de formular este axioma (es decir, la primera que he citado). Excepto que si ese ejemplo existe, no entiendo realmente por qué este axioma no se formula en todas partes como está en la Wikipedia, ya que en realidad me parece más "lógico" (pero, de nuevo, no soy muy lógico. Siempre he tenido problemas con ese tipo de cosas). Estoy bastante seguro de que me falta algo aquí, pero no sé qué es, así que cualquier ayuda es bienvenida. Gracias de antemano.

Answer 1

En los sistemas lógicos en los que la igualdad se trata como un concepto lógico básico, una de sus propiedades fundamentales es que $m=n$ implica que $t_1=t_2$ cuando la única diferencia es que $t_1$ tiene $m$ donde $t_2$ tiene $n$ . En particular $m=n$ implica $S(m)=S(n)$ -- y esto es visto como un hecho sobre la igualdad , no uno sobre la función de sucesión.

Así que desde $m=n\to S(m)=S(n)$ es un la verdad lógica Las reclamaciones $$ S(m)=S(n) \leftrightarrow m=n \qquad\text{and}\qquad S(m)=S(n) \to m=n $$ son lógicamente equivalente es sobre todo una cuestión de temperamento el que uno declare una u otra cosa como un axioma.

La formulación con $\leftrightarrow$ tiene la discutible ventaja de que contiene más explícito información, especialmente para un lector que no se preocupe por las sutilezas de cómo la lógica trata la igualdad.

La formulación con $\to$ es, por otra parte, un fórmula más sencilla -- especialmente si vemos $\varphi\leftrightarrow \psi$ como abreviatura de $(\varphi\to\psi)\land(\psi\to\varphi)$ -- por lo que a menudo se preferirá en nombre de hacer los axiomas lo más breve posible .