Cruz del producto en $\mathbb R^n$

Question

He leído que el producto cruz no puede ser generalizado a $\mathbb R^n$. Luego me enteré de que en $n=7$ hay una Cruz de producto: https://en.wikipedia.org/wiki/Seven-dimensional_cross_product

¿Por qué no es posible definir una cruz de productos para otras dimensiones de la $ \ge 4$?

Answer 1

En su clásico papel, Vector de productos cruzados, Marrón y Gris definir un (bilineal) cruz del producto en un finito-dimensional espacio vectorial $\def\bfv{{\bf v}} \def\bfw{{\bf w}} \Bbb V$ equipada con una degenerada, simétrica de la forma bilineal $\langle \,\cdot\, , \,\cdot\,\rangle$ a ser un bilineal mapa $$\times: \Bbb V \times \Bbb V \to \Bbb V$$ satisfacción de las identidades \begin{align} \langle \bfv \times \bfw , \bfv \rangle &= 0 \\ \langle \bfv \times \bfw , \bfw \rangle &= 0 \\ \quad \langle \bfv \times \bfw, \bfv \times \bfw \rangle &= (\bfv \cdot \bfv)(\bfw \cdot \bfw) - (\bfv \cdot \bfw)^2. \end{align}

La composición de álgebras resulta que bilineal de los productos cruzados están íntimamente relacionados con la composición de álgebras: Dado un campo de $\Bbb F$, una composición de álgebra es una $\Bbb F$-álgebra $\Bbb A$ equipada con una forma cuadrática $Q$ la satisfacción de las siguientes:

• (de no degeneración) la asociada a la forma bilineal $$\langle x, y \rangle := \tfrac{1}{2}(Q(x + y) - Q(x) - Q(y))$$ es no degenerada
• (identidad) no es un elemento $e \in \Bbb A$ tal que $ea = a = ae$ todos los $a \in \Bbb A$
• (multiplicidad) para todos los $x, y \in \Bbb A$ tenemos $Q(xy) = Q(x) Q(y)$ (Este es un modesto debilitamiento de la noción de [no necesariamente asociativa] división de álgebra.)

Resulta que cualquier división de álgebra tiene dimensión $1$, $2$, $4$, o $8$.

La composición de álgebra-producto cruzado correspondencia Ahora, dado cualquier composición álgebra $\Bbb A$ (tal vez asumiendo $\text{char } F \neq 2$), podemos construir una cruz de producto en un codimension-$1$ subespacio de $\Bbb A$: Vamos a $\bar{\cdot} : \Bbb A \to \Bbb A$ ser lineal mapa en el que se restringe a la identidad en $\langle e \rangle$ y el negativo de la identidad en $\Bbb I := \langle e \rangle^{\perp}$; $\Bbb I$ es somtimes llama la parte imaginaria de $\Bbb A$, e $\bar{\cdot}$ mapa se llama conjugación (y es sólo el habitual compleja conjugación del mapa en el caso $\Bbb F = \Bbb R$, $\Bbb A = \Bbb C$), y deje $\Im : \Bbb A \to \Bbb I$ el valor de la proyección ortogonal. Entonces, no es difícil mostrar que el mapa $$\times: \Bbb I \times \Bbb I \to \Bbb I$$ definido por $$x \times y := -\Im(xy)$$ la cruz es un producto en $\Bbb I$ (dotado con la restricción de $\langle \,\cdot\, , \,\cdot\, \rangle$).

Por otro lado, es un buen ejercicio para demostrar que podemos revertir esta construcción, que es, a partir de una bilineal producto cruzado $\times$ en un espacio de $(\Bbb I, \langle \,\cdot\, , \,\cdot\, \rangle)$, podemos construir una composición natural de álgebra en $\Bbb F \oplus \Bbb I$ que los rendimientos de $\times$ cuando la aplicación de la anterior construcción.

En particular, por encima de la cota en la composición de álgebras de decir que la cruz de los productos sólo pueden existir en espacios vectoriales de dimensión $0$, $1$, $3$, y $7$. Por la identidad de la primera al inicio de esta respuesta, cualquier bilineal de la cruz del producto en un $0$- o $1$-dimensional espacio vectorial es trivial, por lo que no trivial de los productos cruzados de existir sólo en la dimensión $3$$7$. (Esta observación es esencialmente el contenido de la prueba del Teorema 4.2(ii) en el mencionado documento.)

Tal vez no sea bien conocido que, de hecho, más del $\Bbb R$ hay dos nonisomorphic cruz de productos en cada una de esas dimensiones.

Ejemplo: La división cuaterniones En la dimensión $3$, los menos conocidos de la cruz del producto puede ser construido de la siguiente manera: podemos identificar a $\Bbb R^3$ con el espacio $$\Bbb M := \left\{\pmatrix{a & b \\ c & -a} : a, b, c \in \Bbb R\right\}$$ de tracefree $2 \times 2$ real de las matrices, y definir el mapa $$\times : \Bbb M \times \Bbb M \to \Bbb M$$ por $$A \times B := -\text{tf}(AB),$$ donde $\text{tf } C$ denota la tracefree parte $$C - \tfrac{1}{2} (\text{tr } C) \Bbb I_2$$ de $C$. Explícitamente, el mapa es $$\pmatrix{a & b \\ c & -a} \times \pmatrix{a' y b' \\ c'& -'} = \pmatrix{\frac{1}{2}(bc' - b'c) a & b' - b' \\ c' - c' & -\frac{1}{2}(b, c' - c b')}.$$ Computing directly shows that this is a cross product on $\Bbb M$ dotado de la (indefinido) bilineal simétrica forma $$\langle A, B \rangle := \text{tf}(AB);$$ de forma explícita, esto es $$\pmatrix{a & b \\ c & -a} \cdot \pmatrix{a' & b' \\ c' & -a'} = -a a' - \tfrac{1}{2}(b c' + c b').$$

Este producto cruzado corresponde a una composición de álgebra llamado split cuaterniones, $\widetilde{\Bbb H}$: Se puede identificar con el álgebra $M(2, \Bbb R)$ real $2 \times 2$ matrices; en este caso, la forma cuadrática es sólo el factor determinante.

Comentario Marrón y Gris definir realmente un producto cruzado de manera más general, es decir, permiten cualquier número de argumentos, y requieren de una generalización natural de las identidades en el comienzo de la respuesta: Más precisamente, el definir un producto cruzado en un finito-dimensional espacio vectorial $\Bbb V$ equipada con una degenerada, simétrica de la forma bilineal $\langle \,\cdot\, , \,\cdot\, \rangle$ $r$veces multilineal mapa $$\times: \Bbb V^r \to \Bbb V$$ la satisfacción de las identidades \begin{align} \langle \times(\bfv_1, \ldots, \bfv_r), \bfv_a \rangle &= 0, \qquad\qquad\qquad a \in \{1, \ldots, r\} \\ \langle \times(\bfv_1, \ldots, \bfv_r), \times(\bfv_1, \ldots, \bfv_r) \rangle &= \det [\langle \bfv_a, \bfv_b \rangle], \end{align} donde $[\langle \bfv_a, \bfv_b \rangle]$ denota la matriz con $(a, b)$ entrada $\langle \bfv_a, \bfv_v \rangle$.

Esta generalización permite muchas más posibilidades: $r$, $n$ para el que no puede ser un producto cruzado (al menos para $\text{char } \Bbb F \neq 2$) son:

• $n$ a, $r = 1$ (estas son las estructuras complejas)
• $n$ arbitrarias, $r = n - 1$ (estos son casos especiales de la Estrella de Hodge operadores)
• $n = 3 \text{ or } 7$, $r = 2$ (los casos que provienen de la composición de álgebras)
• $n = 4 \text{ or } 8$, $r = 3$.

Brown, Robert B.; Gray, Alfred, "Vector de productos cruzados". Commentarii Mathematici Helvetici 42 1 (1967): 222-236. doi:10.1007/BF02564418.

Answer 2

El problema es el problema de la elección.

Dados dos vectores linealmente independientes en $\mathbb R^3$, la dimensión del espacio perpendicular a ambos es $1$. Esto significa que hasta la multiplicación escalar, usted sabe la dirección perpendicular.

El único problema es la elección de la una de la direcciones opuestas y magnitud, y no hay una manera simple de hacer esto, en la forma conocida, que, en cierto sentido, surge de una manera natural a partir de la la regla de Cramer. Por otra parte, esta opción funciona muy bien en el caso de vectores linealmente dependiente.

En la mayor dimensiions el problema se vuelve mucho más complicado debido a la perpendicular espacio de dos vectores tiene una mayor dimensión. Entonces, si uno intenta definir el producto cruzado, uno tiene que elegir uno de los infinitamente muchas direcciones en una forma consistente.

También, $\mathbb R^3$ puede ser identificado en una forma "natural" con un subespacio de $\mathbb R^4$ en muchas formas, por ejemplo, $\mathbb R^3 \times \{0\}$ o $\{0\} \times \mathbb R^3$. Pero no importa cómo se defina el producto cruzado en $\mathbb R^4$, no va a ser consistente con una de estas identificaciones...