Dada una secuencia finita, podemos siempre encontrar una relación que genera esa secuencia?

Question

Esto es algo de lo que me he estado preguntando acerca de, pero no tengo idea de cuál es la respuesta. Yo sospecho que sí.

Debido a un arbitrario secuencia finita, podemos siempre encontrar una relación que genera esa secuencia?

Por ejemplo, dada $4, 7, 10, 13$ podemos encontrar al menos una relación que genera esta secuencia, $a_n=3n+1$. Siempre es posible encontrar una relación para cualquier secuencia finita? Si es así, ¿cómo sobre una secuencia infinita? (usted tendría que dar un número infinito de términos, supongo.)

Answer 1

Considere la posibilidad de una secuencia de longitud n+1, $\{a_k\}_{k=0}^{n}$. La secuencia especifica $n+1$ coordenadas: $(0, a_0), ... , (n, a_n)$.

Usted podría utilizar la Fórmula de Interpolación de Lagrange en estas coordenadas para encontrar un polinomio que interpola su secuencia, es decir, algunos $p(x) \in \mathbb{R}_{n}[x]$ tal forma que:

$$\{a_k\}_{k=0}^n = \{p(k)\}_{k=0}^n$$

Así que en términos de una relación específica: $a_n = p(n)$.