Cómo calcular el $E[(\int_0^t{W_sds})^n], n \geq 2$

Question

Deje $W_t$ ser un estándar en una dimensión Movimiento Browniano con $W_0=0$$X_t=\int_0^t{W_sds}$. Con la ayuda de la fórmula de ito, se podría conseguir $$E[(X_t)^2]=\frac{1}{3}t^3$$ $$E[(X_t)^3]=0$$

Cuando trato de emplear el mismo método para calcular el caso general $E[(X_t)^n]$, me quedé atrapado. Supongo que $X_t$ debe ser la distribución normal, ya que podría ser el límite de la siguiente $$\lim_{n\rightarrow \infty}{\sum_{i=0}^{n-1}{W_{t_i}(t_{i+1}-t_i)}},$$

donde $ W_{t_i}\sim norm(0,\sqrt{\frac{t_i}{n}}).$

Si es cierto, el problema sería trivial.

Actualización: Gracias por todas las sugerencias. Ahora, yo creo $X_t$ es un proceso Gaussiano.

Cómo para esta integral $$Y_t=\int_0^t{f(W_s)ds}$$ si asumimos que el $f$ es una buena función, decir polinomio o exponencial, yo.e $$Y_t=\int_0^t{e^{W_s}ds}$$ $$Y_t=\int_0^t{[a_n(W_s)^n+a_{n-1}(W_s)^{n-1}+...+a_0]ds}$$

Answer 1

Como un funcional lineal del proceso Gaussiano $(W_s)_{0\le s\le t}$, $X_t$ es una variable aleatoria Gaussiana. Se indican a sí mismo que $X_t$ es centrado y ha varianza $\sigma^2_t=\frac13t^3$, por lo tanto $X_t$ es distribuido como $\sigma_tN$ $N$ estándar de Gauss.

Por lo tanto, para cada $n$, $E((X_t)^{2n+1})=0$ y $E((X_t)^{2n})=(\sigma_t^2)^nE(N^{2n})$. Si usted sabe los momentos de un estándar de Gauss (y usted debería...), está hecho.

Answer 2

La variable aleatoria $X_t$ es Gaussiano, por las razones que en el de Didier respuesta.

Usted puede calcular la varianza directamente (sin Ito de la fórmula) de la siguiente manera:

$$\mathbb{E}\left[\left( \int^t_0 W_s ds \right)^2\right] = \int^t_0 \int^t_0 \mathbb{E}(W_r W_s) dr ds = \int^t_0 \int^t_0 (r\wedge s) dr ds ={t^3\más de 3}.$$

Answer 3

Tenga en cuenta que $X_T = \int_0^T W_t\,dt = T W_T - \int_0^T t\,dW_t$. Por lo tanto $X_T$ es una combinación lineal de variables aleatorias distribuidas normalmente. (La segunda integral puede ser más fácil de demostrar que no es normal.)