Encontrar este siguiente ecuación diophantine entero solución $$a^3+b^3=(2ab+1)^2$$
Creo que esta ecuación sólo tiene dos siguiente solución $$(a,b)=(1,0),(0,1)$$ tal vez esta ecuación no tiene otra solución? porque la puede ver wolframalpha.com
Creo que la siguiente idea es útil $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(2ab+1)^2$$ desde $(a+b,a^2-ab+b^2)=1$ , por lo que $a+b,a^2-ab+b^2$ son números al cuadrado?
Respuestas
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Vamos a reescribir la ecuación en $s,t$ doetoe (edit: se eliminan su respuesta, mira al final de la mina) obtuvo de la siguiente manera: $4t^2+(3s+4)t+(1-s^3)=0$, e intentar resolverlo por $t$. Debido a $t$ es un entero, debemos conseguir que el discriminante es un cuadrado perfecto: $\Delta=(3s+4)^2-4\cdot 4(1-s^3)=9s^2+24s+16-16+16s^3=s(16s^2+9s+24)$. Es fácil ver que, asumiendo $a,b$ satisfacer OP ecuación, que $2\nmid s$, y se puede comprobar que $3\nmid s$: si $3\mid a,b$ $3\mid a^3+b^3$ pero $3\nmid (2ab+1)$, y si $a\equiv 1,b\equiv -1\mod 3$, a continuación, de nuevo $3\mid a^3+b^3$ pero $3\nmid (2ab+1)$. Por lo $s$ $24$ son relativamente primos, y por lo tanto $s$$16s^2+9s+24$, por lo que, debido a que estos dos se multiplican a un cuadrado perfecto, ambos deben ser cuadrados perfectos. Pero $16s^2+9s+24=(4s+1)^2+s+23$. Ahora, para $s>\frac{20}{7}: (4s+1)^2<(4s+1)^2+s+23<(4s+2)^2$ $s<-23: (4s+1)^2>(4s+1)^2+s+23>(4s+2)^2$ (simple quadrtatic las desigualdades, se puede comprobar con Wolfram Alpha). Así que, a menos que $-23\leq s\leq \frac{20}{7}$ $\Delta$ no puede ser un cuadrado perfecto. Uno puede comprobar que en este intervalo de $\Delta$ es el cuadrado de $s=1$ o $s=-23$. Para $s=1$ obtenemos $t=0$ o $-\frac{7}{4}$. Conduce, primero, a las soluciones que ha encontrado, segundo no dar entero de soluciones. $s=-23$ no resultar en soluciones reales.
Tan sólo las soluciones son, de hecho,$(0,1),(1,0)$.
EDIT: doetoe la respuesta ha expresado OP igualdad en términos de $s=a+b,t=ab$ y wad forma $4t^2+3ts+4t=s^3-1$, y la equivalencia puede ser fácilmente verificado por sustitución y de las transformaciones elementales.
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Primero, busque las soluciones de la ecuación de $z^2=a^3+b^3$ que se dan por ejemplo en http://www.cecm.sfu.ca/~nbruin/tesis.pdf, lema 3.2.6. A continuación, para cada familia (dar valores a $s,t$), con el fin de encontrar las posibles $a,b$ y comprueba si $2ab+1=z.$
Colm
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Escribir $s = a + b$, $t = ab$. Desde su ecuación es simétrica en $a$ $b$ puede ser escrita como una ecuación en la $s$$t$: una solución de $a,b$ de $$a^3+b^3=(2ab+1)^2$$ gives a solution $s,t$ of $$4t^2 + 3st + 4t = s^3 - 1.$$
No sé si hay una manera fácil de resolver esto a través de la mano, pero ya que define una curva elíptica, muchos algoritmos están disponibles, y resulta que la única solución es $(s,t) = (1,0)$, que corresponde a las soluciones encontradas.
