¿Es $|x^*|=|x|$ en un anillo de la estrella con un valor absoluto?

Question

Deje $R$ ser una estrella anillo con un valor absoluto. Es cierto que $|x^*|=|x|$ todos los $x\in R$?

Aquí una estrella anillo es un anillo con una función de $*:R\to R$ llamado conjugación tal que

• $(x+y)^*=x^*+y^*$
• $(xy)^*=y^*x^*$
• $x^{**}=x,$

y un valor absoluto es una función de $|\cdot|:R\to\Bbb R$ tal que

• $|x|=0\iff x=0$
• $|x-y|\le|x|+|y|$
• $|xy|=|x||y|.$

Obviamente es cierto para el trivial de la conjugación $x^*=x$, y también es cierto para $\Bbb C$ y la matriz de los anillos de más de $\Bbb R$ $\Bbb C$ con la transposición y de cualquiera de las distintas matriz común de las normas, así que me pregunto si es cierto en general.

Answer 1

Este no es necesariamente el caso. Por ejemplo, $\mathbb{Q}(\sqrt{17})$ forma una estrella anillo con valor absoluto bajo la conjugación $(a+b\sqrt{17})^*=a-b\sqrt{17}$ y el estándar (Euclidiana) valor absoluto, pero sin duda $|1+\sqrt{17}|\neq |1-\sqrt{17}|$.