Pregunta sobre la norma equivalente en el espacio secuencial

Question

Tengo una pregunta que: Dado $\alpha$ es un número irracional y $\{a_n\}_{n \in \mathbb{Z}} $ pertenece a $l^2$ el espacio de la secuencia, es decir $\sum_{n}a_n^2 < +\infty$ . Por lo tanto, ¿existe una constante $c > 0$ tal que

$\sum_{n}a_n^2(1-\cos(2n\pi\alpha)) \geq c \sum_{n}a_n^2$

Answer 1

Así que la respuesta es no. Supongamos para la contradicción $c > 0$ es una constante de este tipo. El hecho clave aquí es que $(\cos(2 \pi n \alpha))_{n}$ es denso en $[-1, 1]$ . Entonces existen infinitas $n$ tal que $\cos (2 \pi n \alpha) \geq 1 - \frac{c}{2}$ . Como es infinito, dejemos que $(n_k)_k$ sea una secuencia tal que $\cos (2 \pi n_{k} \alpha) \geq 1 - c/2$ para todos $k$ . Sea $(a_n)_n$ se defina de forma que $a_n \neq 0$ sólo si $n$ está en $(n_k)_k$ . Entonces $\sum_n a_{n}^{2} (1 - \cos( 2 \pi n \alpha )) = \sum_k a_{n_{k}}^{2} (1 - \cos( 2 \pi n_{k} \alpha )) \leq \frac{c}{2} \sum_k a_{n_{k}}^{2} = (c / 2) \sum_n a_{n}^{2}$ .

Answer 2

Supongamos que existiera esa constante $c$ y llegaremos a una contradicción.

Utilizaremos el hecho de que $1- \cos ( 2 n \pi \alpha) $ es denso en $[0,1]$ .

Elija $k_n$ tal $1- \cos ( 2 k_n \pi \alpha) \leq c/2$ .

Ahora dejemos que $a_{k_n}=\frac{1}{k_n}$ y cero en el resto.

Por lo tanto, \begin{align*} \sum_{n}a_{n}^2(1- \cos ( 2 n \pi \alpha)) &= \sum_{n}a_{k_n}^2(1- \cos ( 2 k_n \pi \alpha))\\ &\leq c/2\sum_{n} a_{k_n}^2 \end{align*}

Contradiciendo el hecho de que $\sum_{n}a_{n}^2(1- \cos ( 2 n \pi \alpha))\geq c \sum_{n}a_{n}^2.$

Answer 3

Bien, ahora si tenemos $\epsilon >0$ dado. ¿Existe $c_{\epsilon} >0$ tal que

$\sum_{n}a_n^2(1-\cos(2n\pi\alpha)) + \epsilon \geq c_{\epsilon} \sum_{n}a_n^2$