Cómo probar la existencia de la no-intersección de subespacios?

Question

Vamos $V=\Bbb R^n$, $P,P'$ dos $k$-dim subespacios, debe existir una $(n-k)$-dim subespacio $Q$ cuya intersección con tanto $P$ $P'$ es cero.

Aunque no tengo idea de cómo probar este resultado, creo que puede ser conectado de alguna manera a este problema.

Gracias por la ayuda.

EDITAR traté de argumentar de forma análoga a Steve respuesta a los vinculados problema, pero no me acaba de seguro de cómo hacer una adecuada analogía, o de que estos dos problemas son, en realidad, no relacionados en absoluto. Por la forma geométrica, la intuición me dice que el resultado es cierto para cualquier colección finita de $k$-dim subespacios.

Answer 1

En lugar de mirar a un conjunto de subespacios, usted puede mirar en el espacio $\def\R{\Bbb R}(\R^n)^{n-k}$ $n-k$- tuplas de vectores, cada uno de los cuales abarcan un subespacio de que es un candidato para$~Q$ (algunos de ellos son linealmente dependientes, en cuyo caso $Q$ no tendría el derecho de dimensión, pero estos $n-k$-tuplas están entre los que vamos a excluir). La fijación de alguna base de$~P$, podemos completar las fijadas $k$ vectores con nuestras variables $n-k$-tupla y calcular el determinante, dando una función polinómica $f:(\R^n)^{n-k}\to\R$ (en realidad se trata de una $n-k$-lineal alternada de uno) que no es idéntica a cero (desde $P$ ciertamente tiene subespacios complementarios). Ahora, la "buena" $n-k$-tuplas son aquellos para los cuales $f$ no se desvanecen, y estos forman un abierto denso subconjunto de $(\R^n)^{n-k}$. Una construcción similar para $P'$ da otra abierta subconjunto denso, y la intersección de los dos está todavía abierto y denso. En particular, no está vacío, y el útil de las $n-k$-tupla tomado de da$~Q$.

Este argumento inmediatamente se generaliza para cualquier conjunto finito de $k$-dimensiones de los subespacios para que uno busca un común subespacio complementario.

Answer 2

El hecho subyacente aquí es que subespacios $X$ de codimension $k$ $V={\mathbb R}^n$ forma de un colector llamado la Grassmannian $Gr(V,k)$, cuya dimensión es fácil de calcular. La condición de que un determinado $X\in Gr(V,k)$ debe tener trivial intersección con $P$ es positivo-codimension condición (también fácil de calcular). Por lo tanto usted tiene dos positivos-codimension subvariedades en $Gr$ definido por $P$ $P'$ y basta con elegir un punto que no en uno de esos subvariedades (esto funciona para cualquier número finito de $P$'s y, de hecho, incluso para un contable número de ellos).