Dado un suave mapa que está abierto, es una inmersión?

Question

Una inmersión entre suave colectores es una carta abierta. Es a la inversa verdad? Es decir, es un buen mapa open $f:M\to N$ entre suave colectores de una inmersión? Podemos, además, asumir que es surjective, si es necesario, debido a que es el único caso que me interesa.

Puedo ver cómo esto es casi cierto, teniendo un gráfico de $U$ $m\in M$ y considerando un gráfico de $V$ $f(m)\in N$ que figura en la imagen de $U$ (que es abierto). Mediante el isomorfismo entre los gráficos y la tangente espacios, estoy bastante seguro de que esto nos da una inmersión, pero siento que hay un pequeño espacio en mi argumento. Por lo tanto, ¿el argumento de la obra, o es verdad, pero mi argumento es incompleto, o es falso?

Answer 1

Un no constante holomorphic función es abrir un mapa en $\mathbb{C}\cong\mathbb{R^2}$, pero es una inmersión sólo si su derivado nunca es cero. Así, por ejemplo, $z\mapsto z^2$, un.k.una. $(x,y)\mapsto (x^2-y^2,2xy)$ es un contraejemplo.