planitud criterio

Question

Estoy teniendo problemas con la parte (b) del Ejercicio 10.5.25 de Dummit & Foote (el objetivo del problema es demostrar que $A$ es un plano $R$-módulo de iff $A\otimes_R I\to A\otimes_R R$ es uno-a-uno para todos finitely generado por los ideales de la $I$$R$).

Parte (b) tiene 3 partes. La primera y la tercera me la he hecho, pero estoy atascado en el segundo. Aquí está la primera de dos partes de (b):

Si $A\otimes_R I\to A\otimes_R R$ es inyectiva para todo finitely generado ideal $I$, demuestran que, a $A\otimes_R I\to A\otimes_R R$ es inyectiva para todo ideal de a $I$. Mostrar que si $K$ es cualquier submódulo de un finitely libres generados por el módulo de $F$, $A\otimes_R K\to A\otimes_R F$ es inyectiva.

Esto es lo que he intentado:

Deje $e_1,\ldots,e_n$ ser una base para $F$. Deje $x\in \ker(1\otimes\iota)$ donde $\iota\colon K\to F$ es la inclusión. Entonces $$x=\sum_{i=1}^m a_i\otimes k_i$$ para algunos $a_i\in A$, $k_i\in K$. Expresa cada una de las $k_i$ en términos de la base: $k_i=\sum_j r_{ij}e_j$. Entonces $$0 = 1\otimes \iota(x)=\sum_i\sum_j a_i\otimes r_{ij}e_j=\sum_j\left(\sum_i a_i r_{ij}\right)\otimes e_j.$$ Así, utilizando el hecho de que $A\otimes_R F\cong A^n$ través $\sum_j b_j\otimes e_j \mapsto (b_1,\ldots,b_j)$, obtenemos $$\sum_i a_i r_{ij}=0$$ para todos los $j$. Mi problema es que no sé cómo levantar de nuevo el $A\otimes_R K$. También, creo que debe ser el uso de la primera parte de (b) en algún lugar.

Cualquier sugerencias? Estoy aún en la pista de la derecha?

Answer 1

Primera nota de que la condición de $A \otimes_R K \to A \otimes_R F$ es inyectiva para todos los $R$-módulos de $F$ y submódulos $K$ es equivalente a $A$ planos. Así que sin duda tendrá que asumir que $A \otimes_R I \to A \otimes_R R$ es inyectiva para todos los ideales de a $I \subseteq R$.

Vamos a probar que $\operatorname{Tor}_1^R(A, F/K) = 0$ cualquier $F$ $K$ y esto le dará la inyectividad del mapa con el largo de la secuencia exacta que viene de Tor. Vas a hacer esto por inducción sobre el rango de $F$. Al $F$ rango $1$ es simplemente $R$ $K$ es ideal $I$. Mira la secuencia exacta $I \to R \to R/I$. Anote la correspondiente largo de la secuencia exacta para $\operatorname{Tor}_1^R(A, -)$. El uso de inyectabilidad de $A \otimes_R I \to A \otimes_R R$ y $R$ es libre de ponerse $\operatorname{Tor}_1^R(A, R/I) = 0$.

A continuación el paso inductivo. Deje $e_1, \ldots, e_n$ ser una base para $F$. Deje $N = \langle e_1, \ldots, e_{n-1}\rangle$ y considerar la secuencia exacta $$\frac{N}{N \cap K} \to F/K \to \frac{F/N}{(K + N)/N}$$ Tanto en $N$ $F/N$ están libres de menor rango. Por lo que la hipótesis inductiva, junto con el largo de la secuencia exacta de $\operatorname{Tor}_1^R(A, -)$ nuevo para conseguir que $\operatorname{Tor}_1^R(A, F/K) = 0$.