$\square\square\times\square =\square\square\square =\square\times\square\square\,\,\,$ Llene los espacios en blanco con números distintos de $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

Question

Llene los espacios en blanco de:

$$\square \;\square \times \square = \square \; \square \;\square =\square \times \square \;\square $$

Con distintos números a partir del conjunto de $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.

Pude hacerlo por ensayo y error, pero estoy buscando un enfoque más matemático.

Answer 1

Todo a la derecha: Esta es la "matemática". En otras palabras, algunos de razonamiento, con un montón de caso de cheques. Por lo tanto, tenemos que: $$ab\cdot c = de\cdot f = ghi$$

• $b,c,f,e,i$ no 5. Demás requiere un cero, o de otro 5.

• Si $ghi$ es impar, entonces podemos ver que $b,c,e,f$, e $i$ todo tiene que ser impar. Esto es imposible si ninguno de ellos es un $5$. Por lo tanto, $ghi$ es incluso.

• $a$ $d$ no $1$. Otra cosa, $g$ también tendría que ser un $1$. También podemos ver que $c$ $f$ no $1$. $b$ y $e$ no $1$. Si $b$$1$,$i = c$.

• Por lo tanto, cualquiera de las $g$ o $h$$1$.

Ahora, mira el número de $5$. Es $a,d$, $g$ o $h$.

• En primer lugar, asumir que es $g$. A continuación,$ghi =51i$. Y podemos ver que esto es imposible.

• A continuación, supongamos que es $h$. entonces $ghi = 15i$. $i$ es incluso. Entonces, ¿dónde está el $9$? $9$ no puede ser $a$ o $d$. Así que se supone que es $b$.

Luego tenemos a $a9\cdot c = de\cdot f = 15i$. Desde $c$ es impar, $a$ no puede ser $2$. Si $a =3, c=4$. Tenemos:

$$39\cdot 4 = 156 = 78\cdot 2$$

Así que si $5= h$, una respuesta.

De lo contrario, $5$ es $a$ o $d$. Sin pérdida de generalidad, se supone que es $a$, por lo que $5b\cdot c = de\cdot f = ghi$

Dos de los casos, si $c$ es impar, $50\cdot c = 250$. Sabemos que $g$ o $h$$1$. Si $h$ es uno, $b*c = 60$ algo. Que es imposible (sólo $7*9$ = 60 algo, y que es impar).

Así que si $c$ es impar, $g = 1$. $c$ es, entonces, evidentemente,$3$.

Así que tenemos $5b \cdot 3 = 1hi = de\cdot f$. b no puede ser 2. Otra cosa, h es 5. Si b es 4, tenemos 54*3 = 162 = ... imposible, 7, 8, y 9 a la izquierda.

Como para$b =6$,$56\cdot 3 = 168$. No es posible. 2 instancias de 6.

Si b es 8. Tenemos $58\cdot 3 = 174 = 29\cdot 6$

Situación Final: si c es incluso.

$5b \cdot c = de \cdot f = ghi$

si $c$ 2, $g$ 1 y $h$ es 1 o 0. Imposible.

Si $c$ es de 4 o más, $g$ no es 1, por lo $h$ es 1.

Tenemos

\begin{align} 5b \cdot c = g1i = de \cdot f \end{align}

Si $c$ 4, $b = 3$. A continuación,$53 \cdot 4 = 212$. Imposible.

Si $c$ 6, $g$ es de 3. Por lo tanto, b es 2. $52 \cdot 6 = 312$. Imposible.

Si $c$ 8, $g$ es de 4. b es 2. $52 \cdot 8=416$. Ni siquiera los números de la izquierda. Por lo tanto, imposible.

Básicamente, que las hojas de las dos respuestas.

Answer 2

Un número de observaciones que se pueden hacer para reducir el número de "supone" que deben realizarse:

• Ni $x_2$, $x_3$, $x_7$ ni $x_8$$5$, porque esto resultaría en un $0$ or otra $5$ en la evaluación del producto. Por la misma razón, $x_6$ (el dígito final del producto) no puede ser $5$.
• Ni $(x_2,x_3)$ ni $(x_7,x_9)$ puede ser de un par de números de tal manera que el lugar de las unidades de su producto es uno de los multipiers. Es decir, dado un par de números de $m$ y $n$, $m\not\equiv mn \pmod{10}$ y $n\not\equiv\pmod{10}$.
• Ni $x_3$ ni $x_7$$1$, lo que resultaría en un $2$ dígitos del producto (y una repetición de cada dígito en el multiplicador correspondiente).
• Usted probablemente desea que el producto sea un múltiplo de $6.$ no está garantizado, pero da más flexibilidad.
• El único par de dígitos que se multiplica a$1$$3\times 7$, por lo que el número de tres dígitos no puede terminar en $1$. Del mismo modo $3\equiv 7\times 9$, $7\equiv 3\times 9$, e $9$ no es el producto de los distintos dígitos. Así, el resultado es aún.

Answer 3

Para consultas generales, un enfoque de fuerza bruta lleva a allí sólo dos soluciones distintas: $$29 \cdot 6 = 174 = 58 \cdot 3$ $ $$39 \cdot 4 = 156 = 78 \cdot 2$ $

Edición: Si quieres verlo por ti mismo:

import itertools
l = itertools.permutations(range(1,10))
for x in l:
    a, b, c = (10*x[0] + x[1]) * x[2], 100*x[3] + 10*x[4]+ x[5], (10*x[6] + x[7])*x[8]
    if (a == b and b == c): 
        print 10*x[0] + x[1], "*", x[2], "=", b, "=", 10*x[6] + x[7], "*", x[8]

Answer 4

Eliminación, eliminación. $$\overline{x_1x_2} \cdot x_3 = \overline{x_4x_5x_6}= x_7 \cdot \overline{x_8x_9}$$
Vamos a llamar: $$\overline{x_1x_2} = a$$$\overline{x_4x_5x_6} = b$y $ $$\overline{x_8x_9} = c$ $ % $ tan % $ de $$a \cdot x_3 = b = x_7 \cdot c $

• Sabemos que:
  1. $x_3$ $x_7$ creo ser $1$
  2. $a$ $x_3$ no puede ser ambos primos. También $c$ y $x_7$.
  3. $b$ creo ser primer
  4. $ 123\le c\le 776 = 98 *7 $
  5. Último dígito de $a$ o $c$ no puede deberse a $1$ $\color{red}{x_3} \cdot \overline{x_1 1} = \overline{x_4x_5 \color{red}{x_3}}$
  6. El último dígito de la a, b o c no puede ser $5$
     
     Este c narows a 500 números. Si tengo más ideas que posteo aquí.