Las coordenadas de un arco de un círculo de longitud $\frac{2pi}{p}$ es un número algebraico, y al $p$ es una de Fermat prime se puede encontrar en términos de raíces cuadradas.
Gauss dijo que el método aplicado en muchas más curvas que el círculo. Se puede por favor decir si sabes de algún trabajado ejemplos de esto (la búsqueda de la algebraicas puntos en otras curvas)?
Al parecer, el mismo ejercicio se puede hacer para que el lemniscate con el mismo resultado. Por ejemplo, ver http://www.jstor.org/stable/2321821 donde Teorema 2 se establece que
Si el lemniscate puede ser dividido en n partes con regla y compás, entonces n es una potencia de dos veces un producto de distintos números primos de Fermat.
La principal dificultad, cuando se compara con el mejor conocido teorema sobre el círculo, que parece ser el cambio de funciones circulares (sin, cos) para funciones elípticas. Por ejemplo, uno requiere de algún tipo de adición teorema de estas funciones.
Este es sólo uno más de la curva, pero una que puede ser asociado a la importante integral elíptica $\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}$, lo que hace una aparición como el arco de longitud de la lemniscate. Estoy suponiendo que hay una amplia clase de curvas que están asociados a elliptics las integrales de esta manera, pero dudo que alguno de ellos, naturalmente, sería tan interesante como el círculo o el lemniscate.
Ver esto. En particular, el de Gauss-Wantzel Teorema dice lo siguiente:
Teorema. Regular $n$-gon se pueden construir con regla y compás iff
Para precisar el comentario que me dio: Prasolov y Solovyev mencionar un ejemplo, debido a Euler y Serret: considere el plano de la curva con complejo de parametrización
$$z=\frac{(t-a)^{n+2}}{(t-\bar{a})^n (t+i)^2}$$
donde $a=\frac{\sqrt{n(n+2)}}{n+1}-\frac{i}{n+1}$ $n$ es un número racional positivo.
El arclength función de esta curva es $s=\frac{2\sqrt{n(n+2)}}{n+1}\arctan\,t$; desde
$$\arctan\,u+\arctan\,v=\arctan\frac{u+v}{1-u v}$$
la división de un arco de esta curva se puede hacer de manera algebraica (con regla y el compás para valores especiales).
Aquí están las parcelas de estas curvas para diferentes valores de $n$:
Serret también se consideran las curvas cuya arclengths puede ser expresada en términos de la incompleta integral elíptica de primera especie $F(\phi|m)$; voy a escribir acerca de aquellos más tarde una vez que averiguar la forma de representar estos... (ver el Prasolov/Solovyev libro para más detalles)
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