El local anillos de $xy=0$ $xy+x^3+y^3=0$ son no isomorfos, pero han isomorfo terminaciones?

Question

Yo sé que si usted tiene una propiedad conmutativa anillo local $R$, y se toma su terminación $\widehat{R}$ el límite inversa de la $R/\mathfrak{m}^i$, se obtiene otro anillo local. Sin embargo, nonisomorphic local anillos podría tener isomorfo terminaciones. Estoy un poco desconcertado por ejemplo.

Asumir que todo se lleva a cabo a través de una algebraicamente cerrado de campo. Considere los dos curvas de $xy=0$$xy+x^3+y^3=0$. Voy a indicar estos dos curvas por $C_1$$C_2$, respectivamente, y deje $O=(0,0)$. Sospecho que hay algún comportamiento extraño cerca del origen.

Hay una buena manera de ver que el local correspondiente anillos de $\mathcal{O}_{O,C_1}$ $\mathcal{O}_{O,C_2}$ son no isomorfos, pero que sus terminaciones $\widehat{\mathcal{O}}_{O,C_1}$ $\widehat{\mathcal{O}}_{O,C_2}$ son de hecho isomorfos? Gracias.

Answer 1

Es conocido que en la geometría algebraica de las curvas que en un nodo de la finalización es isomorfo a $K[[X,Y]]/(XY)$ (a veces se toma como la definición). Su curva de $x^3+xy+y^3=0$ tiene un nodo en $(0,0)$ y esto puede ser fácilmente verificado; ver este fin de aprender qué hacer.

Si desea puramente algebraica enfoque, a continuación, siga la sugerencia de Hugh Thomas y a intentar escribir $X^3+XY+Y^3$ $K[[X,Y]]$ $(X+f_2+f_3+\cdots)(Y+g_2+g_3+\cdots)$ $f_i,g_i$ homogénea de grado $i$.