Quiero evaluar la integral:
$$I=\int_{-\infty}^{\infty}dx_1 \int_{-\infty}^{\infty}dx_2 \ \Theta(x_1-x_2) \ e^{i(ax_1+bx_2)}$$ donde $\Theta(x)$ es la función de Heaviside.
Lo que estaba haciendo ahora era tomar la relación para $\Theta$ : $\Theta (x)=-\frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}d\tau \frac{1}{\tau + i\epsilon} e^{-ix\tau}$ y tengo: $$I= -\frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}dx_1 \int_{-\infty}^{\infty}dx_2\int_{-\infty}^{\infty}d\tau \ \frac{1}{\tau + i\epsilon}e^{-i(\tau-a)x_1}e^{-i(\tau+b)x_2}\\=2\pi i\int_{-\infty}^{\infty}d\tau\ \frac{1}{\tau + i\epsilon}\delta(\tau-a)\delta(\tau+b) =2\pi i\frac{\delta(a+b)}{a + i\epsilon}$$ No sabía si la integral era convergente y podía simplemente intercambiar las integrales, así que lo intenté de otra forma con $X=x_1+x_2$ y $x=x_1-x_2$ : $$I=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}dX \int_{-\infty}^{\infty}dx \ \Theta(x) \ e^{ia\frac{x+X}{2}+ib\frac{X-x}{2}} \\ =\pi \int_{-\infty}^{\infty}dx \ \Theta(x) e^{-2\pi i\frac{b-a}{4\pi}}\delta(\frac{b+a}{2})$$ Con la transformada de Fourier de la función Heaviside $\int_{-\infty}^{\infty}dk\ \Theta(k)e^{-2\pi i kx}=\frac{1}{2}(\delta(x)-\frac{i}{\pi k}) $ Me sale $$I=\pi \left(2\pi\delta(b-a)-\frac{4 i}{b-a}\right)\delta(a+b)=2\pi^2\delta(a)\delta(b)+2\pi i\frac{\delta(a+b)}{a}$$ Todavía no sé dónde está el $\delta(a)\delta(b)$ debe venir en el primer método. Cuando quiero comprobar que ahora e integrar $I$ en $a$ y $b$ Me sale desde la primera línea: $$\int_{-\infty}^{\infty}da \int_{-\infty}^{\infty}db \ I = \int_{-\infty}^{\infty}dx_1\int_{-\infty}^{\infty}dx_2 \Theta(x_1-x_2) \delta(x_1)\delta(x_2) \\ = \Theta(0)=\frac{1}{2}$$ y del segundo resultado: $$\int_{-\infty}^{\infty}da \int_{-\infty}^{\infty}db \ I=4\pi^2-\int_{-\infty}^{\infty}db \frac{1}{b}=-\infty$$ ¿En qué se equivocó? ¿Es correcta la integral?
EDIT: corregido el error en la derivación a causa del comentario.
