Débilmente convergente distribuciones $\mathbb{R}$ con densidades relativas a Lebesgue-medida que no convergen

Question

Demuestran que existen débilmente convergente distribuciones $\mathbb{R}$ que tienen una densidad relativa a la medida de Lebesgue $\lambda$, pero las densidades no convergen. Sugerencia: $f_n(x):=1+\cos(2\pi n x)$

Para ser honesto, no entiendo esta tarea por completo. Sin embargo, traté de usar la pista. Tal vez $$ \nu_n(x):=f_n(x)\lambda(x) $$ son las distribuciones en las $\mathbb{R}$? Al menos $\nu_n\ll\lambda$ y el tanto $\lambda$ $\nu_n$ $\sigma$- finito, de modo que a partir de Radon-Nikodým ello se desprende que no es$\lambda$ -.s. una densidad de $\nu_n$ relativas a $\lambda$. Pero no sé si esto se entiende, y sobre todo si el $\nu_n$ débilmente convergen...

Podría por favor ayudarme?

Sinceramente suyo

math12

Answer 1

Usted está en el camino correcto.

Sus medidas de $\nu_n$ definir las distribuciones por la regla

$$\nu_n(g)=\int_\mathbb{R} g(x) d\nu_n(x)=\int_\mathbb{R} f_n(x)g(x) d\lambda(x)$$

para $g\in C_0^\infty(\mathbb{R})$.

Ahora es su trabajo para la notificación de que el $\nu_n$ convergen distributionally, es decir, hay una distribución $\nu$ s.t.

$$\nu_n(g)\rightarrow \nu(g)$$

para todas las funciones de prueba de $g$, pero por otro lado, la secuencia de funciones de $(f_n)_n$ no converge (es decir, pointwise).

Sugerencia: Usar la de Riemann-Lebesgue lema.