Un grupo donde cada dos elementos diferentes que 1 se ha conjugado orden de 1 o 2.

Question

Necesito ayuda para mostrar esto:

Vamos a G un grupo finito tal que para cada $x$, $y$ en G, $x\neq 1$$y\neq 1$, $x$ $y$ son conjugados. Bajo esas condiciones, G debe tener orden de 1 o 2.

Esto es bajo el tema "acciones de grupos sobre conjuntos", pero no pude encontrar una manera de empezar. Ya que cada elemento es conjugado, entonces G debe tener sólo una clase de conjugación, que es en sí mismo, pero, ¿cómo puede esta información ayuda?

Answer 1

Si $G$ es el trivial del grupo, entonces la condición se mantiene. Así que supongamos $G$ no es trivial grupo.

$G$ actúa sobre sí mismo por conjugación, es decir, tenemos una acción $G \times G \to G$ donde $(g,h) \mapsto ghg^{-1}$. Tomar un elemento $x \in G$. Desde cualquiera de los dos no de elementos de identidad son conjugado, $\mathrm{orb}_G(x) = G \backslash \{e\}$, lo $|\mathrm{orb}_G(x)| = |G| - 1$. Pero la órbita-estabilizador teorema nos dice que el tamaño de una órbita divide al orden del grupo. Por lo $|G|-1 $ divide $|G|$. Por lo $|G|$ debe ser de 2.

Answer 2

He aquí otra prueba, no muy elegante, pero con un sabor diferente al que siento es también vale la pena ver. En esta prueba, yo uso algunos de los teoremas que has visto en el "grupo de acciones" en la sección de el libro:

Desde conjugar los elementos tienen el mismo orden, todos los nonidentity elementos tienen el mismo orden. Así, sólo un número primo, $p$, divide al orden del grupo, ya que para cada primer dividiendo $|G|$ tenemos un elemento cuyo orden es el que prime (de Esta manera se sigue de los Teoremas de Sylow, que espero te vas a encontrar pronto). Pero sabemos $p$-grupos han trivial de los centros (por la clase de ecuaciones, uno de los más importantes de la primaria los resultados con el grupo de acciones), y elementos del centro son sus propias clases conjugacy. Desde el fin de que el centro está a menos $p$ y en el centro tiene más de uno nonidentity elemento, $p=2$, e $|Z(G)|=2$. Si $|G|$ es de 4 o más, entonces tenemos elementos, no en el centro, que pueden ser elementos del centro. Por lo tanto $|G|=2$.