Crear un botón con cor

Question

Dicen que usted tiene $2n+2b$ bolas donde $2n$ bolas son de color blanco, $b$ bolas son de color azul y $b$ bolas son de color rojo.

Se tienen dos urnas. Usted elija aleatoriamente $n+b$ bolas y tirar en la urna $1$, mientras que usted coloque el resto de las $n+b$ bolas en la urna $2$.

¿Cuál es la probabilidad de que las bolas azules y rojas bolas en urnas separadas?

Estoy muy interesada en el caso de $\frac{n}b\rightarrow\infty$ como $b=n^{\frac1c}$ $c>1$ fija y en caso de $\frac{n}b\rightarrow c$ como$b={\frac nc}$$c>1$.

Answer 1

Hay $\binom{2n}n$ formas de selección de $n$ de la $2n$ bolas blancas para ir con las bolas rojas. Así, por $b\gt0$ hay $2\binom{2n}n$ maneras de separar las bolas rojas y azules, donde el factor de $2$ se produce porque las bolas rojas puede ser en cualquiera de las dos urnas. Hay $\binom{2n+2b}{n+b}$ formas de seleccionar las bolas de una de las urnas, por lo que este es el número total de resultados. Puesto que las selecciones son equiprobables, la probabilidad de que una separación de selección es

$$ \frac{2\binom{2n}n}{\binom{2n+2b}{n+b}}\;. $$

Para $b=0$, el factor de $2$ debe ser omitido, y la probabilidad de (trivial) de separación es $1$.

Answer 2

Vamos a suponer por un momento que las bolas están numerados (por lo tanto distinto), el número total de opciones posibles es ${2n+2b}\choose{n+b}$. ¿En cuántos de estos usted consigue todas las bolas de color azul y ninguna de las bolas rojas en la primera urna? Usted tiene que escoger a $n$ de la $2n$ bolas blancas a cabo en la primera urna y, a continuación, agregue todos los pf la azul (sin elección), que es ${2n}\choose n$. Ahora sólo tienes que multiplicarlo por dos (por simetría entre las urnas o los colores, dependiendo de su punto de vista) y terminan con $2\frac{{2n}\choose n}{{2n+2b}\choose{n+b}}$.