Tenemos que encontrar todos los triples $(p; q; r)$ de los números primos tales que $pq = r+ 1$$2(p ^ 2+q ^ 2) =r ^ 2 + 1$. Esta pregunta se la hicieron en el 2013 mumbai región RMO pero no pude encontrar una solución a la misma. Puede usted por favor me ayudan con esto?
Respuestas
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Bien, $r^2+1=2(p^2+q^2)$ es aún, por lo $r^2$ es impar, y por lo $r$ es impar. Pero, a continuación, $pq=r-1$ es incluso. Por lo tanto, $p$ y/o $q$ debe ser un prime.
Lo que ocurre a continuación depende de si usted está considerando números negativos potenciales de los números primos. Voy a proceder como si se. Supongamos que $p$ es un primo par, por lo que el $p^2=4.$ el Cuadrado de la primera ecuación nos muestra que la $$4q^2=r^2+2r+1,$$ while multiplying the second equation by $2$ gives us $$16+4q^2=2r^2+2,$$ meaning $$4q^2=2r^2-14.$$ Thus, $$2r^2-14=r^2+2r+1\\r^2-2r-15=0\\(r-5)(r+3)=0$$ and so either $r=5$ or $r=-3.$ But we cannot have $r=-3,$, though, since then we would have $$4q^2=r^2+2r-1=9-6+1=4,$$ so $q^2=1,$ which is impossible, since $q$ is prime. Thus, we must have $r=5.$ So, our original equations become $$pq=6$$ and $$8+2q^2=26.$$ Hence, we find the triples $(2,3,5)$ and $(-2,-3,5).$
Suponiendo que $q$ es incluso un primer asimismo nos pone los triples $(3,2,5)$ $(-3,-2,5).$
A partir de la obra anterior, también podemos ver que sólo hay dos viable se triplica si estamos no teniendo en cuenta los números negativos como el potencial de los números primos.
David HAust
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CODE
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En primer lugar, tenemos la plaza de la primera ecuación. Tenemos: $p^2q^2=r^2+2r+1$.
Si sustituimos $r^2+1$ tendríamos: $p^2q^2=2(p^2+q^2+r)$. Desde $p$ $q$ son números primos y el lado derecho es, incluso, al menos uno de ellos debe ser $2$.
Sin pérdida de generalidad tomamos $p=2$. Tenemos: $4q^2=2(4+q^2+r)$$q^2=r+4$. Si sustituimos esto en la segunda ecuación, tenemos: $2(4+r+4)=r^2+1$$r^2-2r+15=0$.
Las soluciones se $r=-3,5$ pero $-3$ no es un número primo por lo $r=5$. Conectando en la primera ecuación, obtenemos $2q=6$$q=3$.
Por lo tanto, los únicos trillizos sería: $(p,q,r)=(2,3,5),(3,2,5)$
P. S.: Como Singhal sugerido, Técnicamente -3 es una de las principales. Pero aquí no conduce a ninguna solución
Axel Blaze
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Solución.Si p y q son ambos impares, entonces r = pq - 1 es aún de manera que r= 2. Pero en este caso pq>=3*3 = 9 y por lo tanto no hay soluciones. Esto prueba que p= 2 o p= 2. Si p= 2 entonces tenemos 2q = r + 1 y 8 + 2t^2 = r^2+ 1. Multiplicando la segunda ecuación por 2 obtenemos 2r^2+ 2 = 16 + (2q)^2 = 16 + (r+ 1)^2. Reordenando los términos, tenemos r^2-2r-15 = 0,o equivalentemente, (r+ 3)(r-5) = 0. Esto prueba que r= 5 y, por tanto, q= 3. Del mismo modo,si p= 2 entonces r= 5 y p= 3. Por lo tanto las únicas dos soluciones son (p;q;r) = (2;3;5) y(p;q;r) = (3;2;5).
