Firma de $f: \Lambda^2(\mathbb{R}^4) \times \Lambda^2(\mathbb{R}^4) \to \mathbb{R}$ , $f(\omega, \omega') = \omega \wedge \omega'$

Question

Defina $$f: \Lambda^2(\mathbb{R}^4) \times \Lambda^2(\mathbb{R}^4) \to \Lambda^4(\mathbb{R}^4) \cong \mathbb{R}, \quad f(\omega, \omega') = \omega \wedge \omega'.$$

¿Cuál es la firma de $f$ ?

He leído algunas cosas en Wikipedia sobre la firma y un poco en Wald's Relatividad general libro, pero eran algo confusos a la hora de explicar algo tan sencillo como esto....

Answer 1

En efecto, $f$ es una forma simétrica, ya que $\omega$ y $\omega '$ son pares de Grassmann: $$(\text dx \wedge \text d y)\wedge (\text d z \wedge \text d t)=(\text d z \wedge \text d t)\wedge(\text dx \wedge \text d y)$$ etc. Ahora, para calcular la signatura, hay que encontrar una base que diagonalice $\omega$ la dimensión del espacio es $6$ . Una base viene dada por: $$E_1=\frac{\text dx \wedge \text d y+\text dz \wedge \text d t}{2}$$ $$F_1=\frac{\text dx \wedge \text d y-\text dz \wedge \text d t}{2}$$ y permutaciones cíclicas en $(x,y,z)$ . Desde $$ E_1 \wedge E_1 =\text dx\wedge \text dy \wedge \text d z \wedge \text d t =-F_1 \wedge F_1$$ y $ \text dx\wedge \text dy \wedge \text d z \wedge \text d t $ es invariante bajo permutaciones cíclicas de $(x,y,z)$ las entradas de la diagonal son $(1,1,1,-1,-1,-1)$ . Además, es fácil ver que $E_i \wedge F_j =0$ y $E_i \wedge E_j =F_i \wedge F_j = 0$ para $i\neq j$ . Por lo tanto, la firma de $f$ es $((-1)^3,1^3)$ .

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Como implica el OP, aquí estoy usando libremente el hecho de que en un orientado $n$ -espacio vectorial dimensional $V$ tenemos un isomorfismo canónico entre $n$ -formas y escalares, dadas por: $$\lambda \text d \nu \leftrightarrow \lambda,$$ donde $\text d \nu$ es la forma volumétrica de $V$ que he definido como $\text d x \wedge \text d y \wedge \text d z \wedge \text d t$ para el espacio de Minkowski.