Prueba de Khintchine la desigualdad

Question

Estoy tratando de entender la prueba de Khintchine la desigualdad en estas notas de la conferencia: http://www.math.ubc.ca/~ilaba/wolff/notes_march2002.pdf

En la página 27, segunda pantalla-estilo de la ecuación (51), la autora afirma

$$\mathrm{Prob}\left(\sum_n a_n\omega_n\ge \lambda\right)\le e^{-t\lambda+\frac{t^2}{2}\sum_n a_n^2}$$ Yo no entiendo a esta conclusión. ¿De dónde la función exponencial? Yo estaría encantado si alguien puede arrojar luz sobre esto. Por favor, no se asume ningún conocimiento de la probabilidad, como yo no la tengo.

Answer 1

Como se señaló en el comentario que tenemos para $t>0$: $$\mathrm{Prob}\left(\sum_n a_n\omega_n\ge \lambda\right)=\mathrm{Prob}\left(e^{t\sum_n a_n\omega_n}\ge e^{t\lambda}\right)$$ Así que por la desigualdad de Markov $$\mathrm{Prob}\left(\sum_n a_n\omega_n\ge \lambda\right)\le e^{-t\lambda}\mathbb{E}(e^{t\sum_n a_n\omega_n})\le e^{-t\lambda+\frac{t^2}{2}\sum_n a_n^2}$$