Demostrar que $n+1$ elementos de un conjunto también contiene un par de primer Co

Question

<blockquote> <p>Supongamos que $P$ es un conjunto de números enteros de $n + 1$de % de $1,2,3,...,2n + 1$. Entonces ¿cómo podemos mostrar $P$ contiene dos enteros coprimos? El resultado es si $P$ contiene sólo números enteros #% de %#%??</p> </blockquote> <p><strong>Añadido</strong> Me permito añadir esta pregunta divertida, manteniendo el mismo espíritu:</p> <p>Si $n$ son pares entonces distintas por qué nos muestran que hay $a_0,\ldots,a_n\in\{1,\ldots,2n\}$ tal que $(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2$y $i\neq j$ brecha $a_i$.</p>

Answer 1

Si 1 es parte del set, juego encima. Si 1 no está en el conjunto, hay $n$pares $(2, 3)$, $(4, 5)$,... $(2 n, 2 n + 1)$. Como hay $n + 1$ números, dos deben estar en el mismo par, es decir $k, k + 1$ están en el conjunto, y son relativamente privilegiadas.

Answer 2

Sea $P$ un conjunto de números enteros de $n+1$de % de $1,2,3,\cdots,2n+1$. Si $2n$ y $2n+1$ se encuentran en $P$ termine (ya que son coprimos). Si este no es el caso puede borrar un elemento de tal manera que el conjunto reducido tiene elementos de $P$ $1,2,3,\dots,2n-2,2n-1$. Ahora, el resultado se sigue por inducción (es fácil comprobar la instrucción $n=1$).

Si usted toma $P$ a ser el conjunto de números tienes que $1,2,3,\cdots,2n+1$ #% tiene $P$% #% elementos y no hay un par de elementos coprimos en $n$.

Answer 3

Re: Anexo: Usted puede escribir $a_i = 2^{e_i} b_i$, donde todos los $b_i$ son impares. Sólo hay $n$ posibles valores de $b_i$, por lo que entre el $n + 1$ de ellos uno se repite, es decir, hay $a_i$ $a_j$ que sólo se diferencian en la potencia de 2, y uno divide los otros.

[Esto debería haber sido una pregunta aparte, tal vez la vinculación de la presente.]