Hasta hace poco, pensé que mi profesor de matemáticas había dicho en su verdadera categoría de análisis que, en el límite del disco de convergencia, una serie compleja de poder tiene al menos un punto en el que no converge. Pero esto no es cierto, por lo que él debe haber dicho "convergen uniformemente", "absolutamente convergen" o tan en lugar de "converger".
¿Qué es la afirmación correcta sobre la converge de una compleja serie de energía en la frontera en el límite del disco de convergencia?
Una serie puede converger (absolutamente, y por lo tanto de manera uniforme) en todos los puntos de la frontera de convergencia, considere la posibilidad de $\displaystyle \sum \frac{z^n}{n^2}$.
Sin embargo, hay al menos un punto a lo largo de la cual el holomorphic función de la serie se define no puede ser analíticamente continuó. Intuitivamente, creo que de $\sum z^n$. Esta serie coincide con $1/(1-z)$, que es holomorphic en todas partes (excepto en $z=1$), aunque la serie tiene radio de convergencia 1. Lo que este resultado dice es que la "excepto en $z=1$" es inevitable.
Permítanme ser más precisos. Un punto en el límite de la disco $D$ de la convergencia de una potencia de la serie (es decir, 0) se llama regular si existe un abierto vecindario $U$ de ese punto y una analítica de la función que coincide con la potencia de la serie en la intersección de las $D$$U$. De lo contrario, el punto es singular.
El teorema de tu instructor estaba refiriendo es, probablemente, el siguiente:
Teorema. Si la potencia de la serie ha finito radio de convergencia, entonces el conjunto de puntos singulares es un vacío subconjunto cerrado de su límite de convergencia.
La idea de la prueba de que existe al menos un punto singular es fácil. Para más detalles, ejemplos, y una discusión de continuación analítica, véase por ejemplo el Capítulo 5 de Berenstein-Gay "Variables Complejas. Una introducción", o similar de libros de texto.
La cosa es que, llamando $f$ la función definida por el poder de la serie, si no hay puntos singulares, podemos encontrar alrededor de cada punto de $p$ de la frontera, un pequeño disco de $D_p$ y una analítica de la función $f_p$, que coincide con $f$$D_p\cap D$.
Pero, por conexión, si $D_p$ $D_{p'}$ se cruzan, a continuación, en su intersección $f_p$ $f_{p'}$ coinciden. Esto es debido a que coinciden (con $f$)$D_p\cap D_{p'}\cap D$, que es no vacío si $D_p\cap D_{p'}\ne\emptyset$ a empezar.
El uso de compacidad, a continuación, podemos utilizar los discos de $D_p$ a ver que no es un disco concéntrico con $D$, pero un poco más grande donde hay una analítica de la función extender $f$. Pero luego, el disco de convergencia de $f$ no $D$ a empezar.
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