Resolución de 2 º orden Oda con el método de Frobenius - problemas con el símbolo de sumatoria

Question

Estoy tratando de resolver la ODA: $$ y''(x) + \frac{2x}{(x-1)(2x-1)} y'(x) - \frac{2}{(x-1)(2x-1)} y(x) = 0 $$

Estoy tratando de encontrar una solución por el método de Frobenius, la expansión de una potencia de serie de la solución alrededor de $x = \frac 12$, que está en una serie de términos $(x - 1/2)^{n}$. El indicial ecuación tiene dos raíces, $\alpha = 0$$\alpha=2$. Para $\alpha= 2$ la solución será $$ y(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k \left( x - \frac 12 \right)^{k+2}$$

Si me dicen que $$ p(x) =\frac{1}{x-\frac12} \frac{x}{x-1} =\frac{1}{x-\frac12} \left(-1 + \sum_{i = 0}^{\infty} -2^{i+1} \left( x -\frac 12\right)^i \right) $$ y $$ q(x) = -\frac{1}{\left( x -\frac12 \right)^2} \frac{x-1/2}{x-1} =\frac{1}{\left( x -\frac12 \right)^2} \left( -1 + \sum_{j=0}^{\infty} 2^{j+1} \left( x - \frac 12\right)^{j+1} \right) $$

y el enchufe y el poder de expansión de la serie de $y, y', y''$ en la educación a distancia, me sale:

$$\sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1) a_k \left( x- \frac 12\right)^k + \frac{1}{x-\frac12} \left(-1 + \sum_{i = 0}^{\infty} -2^{i+1} \left( x -\frac 12\right)^i \right) \left(\sum_{k=0}^{\infty} (k+2) a_k \left( x- \frac 12\right)^{k+1}\right) + \frac{1}{\left( x -\frac12 \right)^2} \left( -1 + \sum_{j=0}^{\infty} 2^{j+1} \left( x - \frac 12\right)^{j+1} \right) \left(\sum_{k=0}^{\infty} a_k \left( x - \frac 12 \right)^{k+2} \right)$$

Voy a través de las matemáticas y obtener

$$\sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1) a_k \left( x- \frac 12\right)^k + \sum_{k=0}^{\infty} \left( \sum_{i=0}^{k} -a_i (i+2) 2^{k-i+1} \right) \left( x- \frac 12\right)^{k} + \sum_{k=0}^{\infty} (k+2) a_k \left( x - \frac 12 \right)^k + \sum_{k=0}^{\infty} \left( \sum_{j=0}^{k} 2^{k-j} a_j \right) \left(x - \frac 12 \right)^k - \sum_{k=0}^{\infty} a_k \left( x - \frac 12 \right)^k = 0 $$

Ahora me igualar los coeficientes ofequal poderes a 0: $$k = 0 , 2 a_0 - 4 a_ + 2 a_0 + a_0 - a_0 = 0 <=> 0 a_0 = 0 $$ $$k = 1 , 6 a_1 - 8 a_0 - 6 a_1 + 3 a_1 + 2 a_0 + a_1 - a_1 = 0 <=> a1 = (6/3) a_0$$

Estoy recibiendo ahora este derecho?

Answer 1

Considere la ecuación diferencial\begin{align} (x-1)(2x-1) y''(x) + 2x y'(x) - 2 y(x) = 0 \end{align} con soluciones ampliadas alrededor de $1/2$. Para esto se ve que\begin{align} y(x) = \sum{n=0}^{\infty} a{n} \left(x - \frac{1}{2} \right)^{n+\sigma} \end {alinee el} que conduce a\begin{align} 0 &= 2(x-1)\left(x-\frac{1}{2}\right) \sum{n=0}^{\infty} a{n}(n+\sigma)(n+\sigma-1) \left(x - \frac{1}{2} \right)^{n+\sigma-2} + 2x \sum{n=0}^{\infty} a{n}(n+\sigma) \left(x - \frac{1}{2} \right)^{n+\sigma-1} \ & \hspace{10mm} - 2\sum{n=0}^{\infty} a{n} \left(x - \frac{1}{2} \right)^{n+\sigma}\ &= 2(x-1) \sum{n=0}^{\infty} a{n}(n+\sigma)(n+\sigma-1) \left(x - \frac{1}{2} \right)^{n+\sigma-1} + 2 x \sum{n=0}^{\infty} a{n}(n+\sigma)^2 \left(x - \frac{1}{2} \right)^{n+\sigma-1} \ & \hspace{10mm} - 2 \sum{n=0}^{\infty} a{n} \left(x - \frac{1}{2} \right)^{n+\sigma} \ &= 2[(x-1/2) - 1/2] \sum{n=0}^{\infty} a{n}(n+\sigma)(n+\sigma-1) \left(x - \frac{1}{2} \right)^{n+\sigma-1} \ & \hspace{5mm} +2[(x-1/2) +1/2] \sum{n=0}^{\infty} a{n}(n+\sigma)^2 \left(x - \frac{1}{2} \right)^{n+\sigma} + \sum{n=0}^{\infty} a{n} \left(x - \frac{1}{2} \right)^{n+\sigma} \ &= -\sum{n=0}^{\infty} a{n}(n+\sigma)(n+\sigma-2) \left(x - \frac{1}{2} \right)^{n+\sigma-1} +2 \sum{n=0}^{\infty} a{n}[(n+\sigma)^2-1] \left(x - \frac{1}{2} \right)^{n+\sigma} \ 0 &= -a{0} (\sigma)(\sigma-2) + \sum{n=0}^{\infty} (n+\sigma+1)(n+\sigma-1) [ (a{n+1} - 2 a{n}) \left(x - \frac{1}{2} \right)^{n+\sigma} \end{align} de este se ve que\begin{align} 0 &= a{0} (\sigma)(\sigma-2) \ a{n+1} &= 2 a{n}. \end{align} de la primera ecuación se ve que $a{0} \neq 0$ y $\sigma = 0,2$. Se dan lo coeficientes $a{n}$ $a{n} = 2^{n} a{0}$. Las soluciones se derivan\begin{align} y{\sigma}(x) &=a{0} \sum{n=0}^{\infty} 2^{n} \left(x - \frac{1}{2} \right)^{n+\sigma}\ &= a{0} \left(x - \frac{1}{2}\right)^{\sigma} \sum{n=0}^{\infty} (2x-1)^{n} \ &= \frac{a_{0}}{2(1-x)} \, \left(x - \frac{1}{2} \right)^{\sigma}. \end {Alinee el}

Puesto que $\sigma = 0,2$ entonces la solución general sigue la forma\begin{align} y(x) &= \frac{a{2}}{1-x} + a{3} \, \frac{(1-2x)^{2}}{1-x} = \frac{a{2}}{1-x} + a{3} \left( \frac{1}{1-x} - 4 x \right) \ &= \frac{A}{1-x} + B x. \end {Alinee el}