Un finito anillo boleano es generado por finito muchas copias de $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$

Question

Estoy tratando de probar que cada finito Booleano anillo, $R$, es isomorfo a un número finito de copias de $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$:

\begin{align} R \cong \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \; \times \cdots \; \times \; \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \end{align}

Soy consciente de que hay respuestas a esta pregunta en este sitio web. Sin embargo, casi todas las respuestas parecen utilizar información sobre los módulos y espacios vectoriales definidos sobre los campos. Esta pregunta se plantea en la sección 7.6 en Dummit y Foote del Álgebra Abstracta. Esta sección es parte de los capítulos en los que introduce los conceptos básicos de anillo de la teoría de anillos, homomorphisms, los ideales, el Teorema del Resto Chino, etc.).

Ni siquiera estoy seguro de cómo están respondiendo a esta pregunta. Sé que si $R$ fueron una parte integral de dominio, entonces tendríamos que $R \cong \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} $.

Por favor, sólo dar consejos, considerando que la declaración ha de ser probado utilizando el material sólo incluye hasta los capítulos 9 en el libro de texto.

Answer 1

Esta respuesta supone que ya creen Booleano anillos conmutativos. Que la prueba aparece en el sitio y que es bien conocido.

También estoy asumiendo que usted cree que tiene una identidad, que también puede ser probado de varias formas, pero generalmente se supone.

También voy a tratar de escribir lo que usted puede intentar dejar de leer en cualquier momento para desarrollar la idea de que estoy describiendo, si usted ha decidido que usted ha leído lo suficiente como para tener una idea. La buena suerte.

Creo que la forma más fácil de ángulo a seguir es utilizar idempotents. En un anillo Booleano, cada elemento es idempotente, es decir, $x^2=x$.

La cosa a notar es que si $e$ es idempotente,

1. $eR$ es un anillo conmutativo con identidad $e$;
2. $1-e$ también es un idempotente; y
3. $R=eR\oplus (1-e)R$

Ninguno de estos implica algo más que lo básico de anillo de la teoría a la que usted menciona.

Ahora, por supuesto, ver que el idempotents $\{0,1\}$ dar trivial escisiones de $R$ a $R\oplus\{0\}$ o $\{0\}\oplus R$, por lo que los casos interesantes son cuando usted tiene un idempotente $e\notin\{0,1\}$.

Tome su finitos Booleano anillo y comenzar a dividir en partes más pequeñas de esta manera. Obviamente si $e\notin\{0,1\}$, las piezas $eR$ $(1-e)R$ tienen estrictamente menos elementos de los que $R$. Cada pieza es otro finito anillo Booleano (obvio, ¿no?)

Esta división no puede durar siempre. La pregunta es: ¿cuando me tocó fondo? Obviamente, si el anillo tenía dos elementos (sólo el aditivo y multiplicativo de identidades) que iba a $\mathbb Z/2\mathbb Z$ y listo.

Entonces, ¿qué si el anillo tiene más de dos elementos? A continuación, tiene un elemento $x$ que no es el aditivo o multiplicativo de identidad, y $x^2=x$, así que usted puede volver a dividir el uso de la idempotents $x$ $1-x$ en un estrictamente anillo más pequeño. Este establece que no se puede dividir más precisamente cuando la pieza es una copia de $\mathbb Z/2\mathbb Z$.

Así que ahí lo tienen: usted puede refinar $R$ una y otra vez en piezas más pequeñas hasta que es una suma directa de copias de $\mathbb Z/2\mathbb Z$.