Continuous abierto surjection en Reals

Question

Si$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es una superación continua y abierta, ¿debe ser un homeomorfismo?

Answer 1

Basta con mostrar que$f$ es inyectiva. (De hecho, entonces$f$ es una biyección, y como$f$ está abierto$f^{-1}$ debe ser continuo.)

Supongamos que$f(x)=f(y)$ donde$x<y$. Reclamo que$f((x,y))$ no está abierto. (De hecho, si$f$ es contant en$[x,y]$ entonces$f((x,y))$ es un punto. De lo contrario,$f$ logra un máximo o un mínimo en$[x,y]$ que no es $f(x)$, y este debe ser un punto extremo de$f((x,y))$.)