Identificando los dígitos de$37 \cdot aaaa\ldots a$.

Question

Con una calculadora, he notado que el entero $37$ multiplicado con algunos números particulares de los rendimientos de los números con algunas estructuras.

Por ejemplo, supongamos $aaaa\ldots a$ ser un número natural de $n$ idénticos dígitos. A continuación, $ 37 \cdot aaaa\ldots a$ es un número con $n+1$ o $n+2$ dígitos de la forma

$$\underbrace{4\cdot a}_{1\text{ or }2}~ \underbrace{aaa\ldots a}_{n-2} ~\underbrace{7\cdot a}_{2^{*}}.$$

$*$ si $a=1$, $7 \cdot a$ es la secuencia de dígitos $07$.

Me pregunto si el resultado anterior puede ser comprobada mediante algún número de la teoría de la herramienta.

Gracias de antemano!

Answer 1

Buena observación!

Esto sigue porque$aaa\cdots a = a \cdot 111 \cdots 1$ y

$37 \cdot 11 = 407$

$37 \cdot 111 = 4107$

$37 \cdot 1111 = 41107$

$\cdots$

De hecho, deje$u_n = 111 \cdots 1$ ($n$ ones). Entonces y

$$ \begin{align} 37 \cdot 111\cdots 1 \quad (n \text{ ones}) &= 37u_n\\&= 36u_n + u_n\\ &= 4\cdot9\cdot u_n+10u_{n-2}+11\\ &=4(10^n-1)+10u_{n-2}+4+7\\ &=4\cdot10^n+10u_{n-2}+7\\ &=4111\cdots107 \quad (n-2 \text{ ones}) \end {align} $$

Answer 2

Esto no solo es cierto para$37$, sino también para$2$ - números de dígitos de la forma$[ab]$, donde$a + b =10$.

Ya que $[ab]=10a+b$

$ \begin{align} &\ \ \ \ \ [ab]\times11\\ &=(10a+b)\times11\\ &=100a+10(a+b)+b\\ &=100(a+1)+b\\ &=[(a+1)0b]\\ \end {align} $

En una forma similar,

$ \begin{align} &\ \ \ \ \ [ab]\times11...n\ times...11\\ &=10^{n}a+10^{n-1}(a+b)+10^{n-2}(a+b)...+10(a+b)+b\\ &=10^{n}(a+1)+10^{n-1}+...+100+b\\ &=[(a+1)11...n-2\ times...110b]\\ \end {align} $

Ahora para $[ab]\times [kk..n\ times..kk]$

$ \begin{align} &\ \ \ \ \ [ab]\times11...n\ times...11\times k\\ &=[(a+1)11...n-2\ times...110b]\times k\\ &=[(k\times(a+1))kk..n-2\ times..kk00]+(k\times b)\\ \end {align} $

Esto con algunas modificaciones se puede aplicar a todos los números de formulario$[abc...]$, donde$a+b+c+...=10$.

Answer 3

Observar los patrones que en el escrito de cálculo de estos productos

$$a=1\to\begin{matrix}3&7\\&3&7\\&&3&7\\&&&3&7\end{matrix}$$

$$a=2\to\begin{matrix}7&4\\&7&4\\&&7&4\\&&&7&4\end{matrix}$$

$$a=3\to\begin{matrix}1&1&1\\&1&1&1\\&&1&1&1\\&&&1&1&1\end{matrix}$$

$$a=4\to\begin{matrix}1&4&8\\&1&4&8\\&&1&4&8\\&&&1&4&8\end{matrix}$$

$$a=5\to\begin{matrix}1&8&5\\&1&8&5\\&&1&8&5\\&&&1&8&5\end{matrix}$$

$$\cdots$$

$$a=9\to\begin{matrix}3&3&3\\&3&3&3\\&&3&3&3\\&&&3&3&3\end{matrix}$$

Un dígito del producto, en una columna completa, es la suma de los dígitos de $37\cdot a$, además de una posible transferencia de la columna anterior, es decir, la suma de los dígitos de la suma de los dígitos de $37\cdot a$.

El inicial y final de los pares de dígitos corresponden a las sumas parciales.

Tenemos

$$ 37\cdot1=37\10\1,\\ 37\cdot2=74\11\2,\\ 37\cdot3=111\o 3\o 3,\\ 37\cdot4=148\13\to4,\\ 37\cdot5=185\14 años\hasta las 5,\\ \cdots\\ 37\cdot9=333\to9\to9.$$

El fenómeno se explica por el hecho de que $37=4\cdot9+1\to10\to1$, y esto ocurre para todos los factores de la forma $k\cdot9+1$. Por ejemplo,

$$73\cdot66666666666666=4866666666666618.$$