Encontrar una función biyectiva entre un disco abierto y el cuadrado abierto

Question

¿Cómo puedo encontrar una función biyectiva entre estos dos conjuntos? ps

Ya pensé en escribir primero entre el segundo y el conjunto de números reales, pero luego me encuentro atascado en encontrar entre los reales y el primer set. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Un dominio es$\{\rho_1(x,y)<1\}$, el otro es$\{\rho_2(x,y) <1\}$, donde$\rho_1(x,y) =\sqrt{x^2+y^2}$ y$\rho_2(x,y) = \max(|x|,|y|)$. Busque un mapa$F\colon (x,y) \mapsto (x',y')$ para que$\rho_1(x,y) = \rho_2(x',y')$. Debe ser lineal en cada línea a través del origen. Uno puede tomar:$$F(x,y) = \frac{\rho_1(x,y)}{\rho_2(x,y)} \cdot (x,y)$ $ que es \begin{eqnarray} F(x,y) = \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\max(|x|,|y|)} \cdot (x,y) \end {eqnarray} con reverse \begin{eqnarray} F^{-1}(x,y) = \frac{\max(|x|,|y|)}{\sqrt{x^2+y^2}} \cdot (x,y) \end {eqnarray}

$F$ proporciona un homeomorfismo del disco al cuadrado.

Answer 2

Sugerencia Si denotamos$$S := (-1, 1) \times (-1 ,1) \qquad \text{and} \qquad D := \{(x, y) : x^2 + y^2 = 1\},$$ we can easily write down a homeomorphism $ f: \ partial S \ stackrel {\ cong} {\ to} \ partial D$ between their boundaries in $ \ Bbb R ^ 2$ by projecting points in $ \ partial S $ a lo largo de los rayos desde el origen; explícitamente, este mapa es:$$f(x, y) := \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} (x, y).$ $

La extensión lineal de este mapa en cada rayo desde el origen determina un mapa$\Bbb R^2 \to \Bbb R^2$ que restringe a una biyección (de hecho, un homeomorfismo)$S \to D$.

Answer 3

Esquema: mapea el origen a sí mismo. Ahora considere los puntos$P$ en el disco con coordenadas polares$(r,\theta)$, donde$r\gt 0$ y$0\le \theta\le \frac{\pi}{4}$. Mapa$P$ a$\phi(P)$, donde$\phi(P)$ tiene coordenadas polares$(r\sec\theta,\theta)$.

Haga lo mismo geométricamente para los sectores restantes$7$ del disco.