¿Cuál es el resto cuando$N = (1! + 2! + 3! + 4! + ........... + 1000! )^{40}$ se divide entre$10?$

Question

¿Cuál es el resto al $N = (1! + 2! + 3! + 4! + ........... + 1000! )^{40}$ se divide por $10$ ?

Yo:

Viendo el patrón a medida que crece, después de $4!$ todos son divisibles por $10$.

Así que, de hecho, estoy justo a la izquierda con $N = (1! + 2! + 3! + 4! + 0)^{40}$ y necesito comprobar el resto cuando esta $N$ es divisible por $10$.

Por lo tanto, el $N$ resume a $33^{40}$ cuando se divide por $10$ .

Ahora, después de esto me puede simplemente aplicar el Teorema de Euler tal que

$33^{4} = 1 (mod 10)$

Después de todo, el resto viene a ser $1$.

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No tengo una respuesta para esto. Es mi entendimiento de la derecha o ¿me olvido de algo?

Answer 1

Tu respuesta es correcta Algunos consejos, sin embargo:

1. Tenga en cuenta que puede reducir$33$ a solo$3$
2. El teorema de Euler dice que$3^{4}\equiv 1\pmod{10}$

Answer 2

Ve a lo básico.

Dejar $(1! + 2! + 3! + 4! ........+ 1000!)=x$.

Ahora está claro que el dígito unitario de$x$ será$3$. (¿¿Por qué??)

Además, si un número se divide entre$10$, el resto es el dígito de la unidad.

veamos cuál será el dígito unitario de$x^{40}$.

Observe que los dígitos unitarios de potencias de$3$ se repiten en el patrón, como$3^0=1, 3^1=3, 3^2=9, 3^3=27$. Sigue este patrón y encontrarás que el dígito unitario de algo como,$3^{40}$ será$1$. Te dejaré concluir ahora.