Estoy estudiando Vakil notas de la "Fundación de la geometría algebraica" (http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGmar2313public.pdf) y tengo un problema de comprensión de los ejercicios todas las 24.4.O (página 638). De hecho, si consideramos el anillo de coordenadas $$ A= k[x,y,m,t]/(m^2-t(x+1),ty-mx,y^2-x^3-x^2) $$ profesor de Vakil dice que $t$ no es un divisor de cero en a $A$, pero si tenemos en cuenta que en el cociente de las relaciones $ty=mx$ $m^2x=tx(x+1)$ obtenemos que $t(my-x(x+1))=0$. Lo que está mal? Gracias!
Respuesta
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Dejar $B= k[x,y]/(y^2-x^3-x^2)$
Hay un canónico$k$ - álgebra morfismo$\phi: A\to B$ enviando$m,t$ a$0$ y$x,y$ a$x,y$.
Ese morfismo envía$my-x(x+1)\in A$ a$-x(x+1)\in B$, que es claramente$\neq0$.
Esto demuestra que:
1)$my-x(x+1)\neq 0 $ en$A$ ya que su imagen en$B$ en$\phi$ es$-x(x+1)\neq0$
2)$t$ es un divisor cero en$A$ desde$t(my-x(x+1))=0$ aunque$my-x(x+1)\neq 0\in A$.
3) El profesor Vakil puede haber cometido un error.
