Partición de un conjunto infinito

Question

¿Se puede dividir un conjunto infinito en un número infinito de conjuntos infinitos?

Answer 1

Una forma sencilla de dividir el conjunto de los números naturales.Toma los conjuntos $S_n$ de números con suma de dígitos $n$ para cada todo $n$ . Obviamente, ningún conjunto se superpone y cada $S_n$ contienen números de la forma $1111..0000...$ donde la cadena de 1's contiene $n$ de ellos, y tantos ceros como desee

Answer 2

Nota: He escrito esto porque es interesante, y "redondea" la teoría, de que podemos dividir $X$ en un número infinito de bloques, siendo cada uno de ellos contablemente infinito.

Estoy marcando esto como wiki de la comunidad. Si varias personas votan en contra de esto y/o publican comentarios que no están de acuerdo con mis sentimientos, borraré esto.

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Proposición 1: Todo conjunto infinito $X$ puede dividirse en bloques, cada uno de los cuales es contablemente infinito.
Prueba
Elija una orden de pozo $\le$ en $X$ que no tiene elementos máximos (véase este ) y que $\sigma$ denota la función de sucesión en $X$ . Sea $L$ denotan los elementos de $X$ que no tienen un predecesor inmediato. Para cada $\alpha \in L$ definir

$\tag 1 L_\alpha = \{ S^n(\alpha) \, | \, \text{integer } n \ge 0\}$

Esta familia de particiones $X$ (ver este ) y cada conjunto debe ser también contablemente infinito. $\quad \blacksquare$ .

Si $L$ es finito tome cualquier $\alpha \in L$ y dividir el conjunto contablemente infinito $L_\alpha$ en un número infinito de bloques (véanse las muchas y buenas respuestas en este hilo). Así que tenemos

Proposición 2: Todo conjunto infinito $X$ puede dividirse en un número infinito de bloques
siendo cada una de ellas contablemente infinita.