Partición de un conjunto infinito

Question

¿Se puede dividir un conjunto infinito en un número infinito de conjuntos infinitos?

Answer 1

Sí.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que basta con hacerlo para conjuntos contablemente infinitos. Ya que si $X$ es incontable y $Y$ es un subconjunto contablemente infinito, entonces $Z = X-Y$ también es infinito. Entonces, si dividimos $Y$ en infinitos conjuntos infinitos, hemos dividido $X$ en infinitos conjuntos infinitos.

Entonces, consideremos un conjunto contable $Y$ . Por supuesto, también podemos etiquetar los elementos de $Y$ como $0,1,2,...$ . En resumen, voy a romper $\mathbb{N}$ en infinitos conjuntos infinitos.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que existen infinitos números primos. Además, si $p$ y $q$ son números primos, y si $p^a = q^b$ , entonces debemos tener $p=q$ y $a=b$ . Esto se deduce de la factorización única de los números.

Así, para cada primo $p$ , considere el conjunto $Y_p = \{ p^a$ con $a>0\in\mathbb{N}\}$ . Entonces, por ejemplo, $Y_2 = \{2,4,8,16,32,64,128,...\}$ y $Y_3 =\{3,9,27,81,243,...\}$ .

Evidentemente, cada $Y_p$ es infinito. Además, si $Y_p$ y $Y_q$ tienen algo en común, entonces por lo que dijimos antes, debemos tener esa $p=q$ . En otras palabras, para diferentes primos $p$ y $q$ los conjuntos $Y_p$ y $Y_q$ no se superponen.

Como hay infinitos primos, hay infinitos $Y_p$ sin que se superpongan. Por último, dejemos que $Z$ son todos los naturales que NO son potencias de un número primo. $Z$ también es infinito ya que, por ejemplo, contiene $2*3, 2*3^2, 2*3^3, 2*3^4,...$

Así, hemos dividido $\mathbb{N}$ en infinitos conjuntos infinitos: $Z$ y cada uno de los $Y_p$ .

Answer 2

Ciertamente. Mira el Función de emparejamiento de Cantor que muestra una correspondencia entre los naturales y los pares de naturales. Se tiene $f:\mathbb{N}\mapsto \mathbb{N\times N}$ que es una biyección. Todos los conjuntos de la forma $(x,y)$ para un determinado $x$ son infinitos. Así que los conjuntos de $n$ que van a $(x,y)$ para un determinado $x$ son infinitas.

Pensándolo bien, esto es demasiado complicado. $(x,y) \in \mathbb{N \times N}$ es infinito. Los conjuntos de la forma $(x,1)$ son infinitos, al igual que $(x,2)$ , al igual que $\ldots$ . Así que hemos dividido un conjunto infinito en un número infinito de conjuntos infinitos. La función de emparejamiento sólo proyecta esto en $\mathbb{N}$ .

Answer 3

Los números naturales organizados en un número infinito de filas y un número infinito de columnas:

1  2  4  7 11 16 ..
   3  5  8 12 17 ..
      6  9 13 18 ..
        10 14 19 ..
            :  :

Answer 4

Para otro ejemplo con un sabor algo diferente, corte la línea real en números enteros, dividiéndola en una unión contable de intervalos unitarios, cada uno de los cuales tiene incontables puntos:

$$ \mathbb{R} = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} [n,n+1)$$

Answer 5

He aquí una forma rápida de dividir los enteros positivos en infinitos conjuntos infinitos:

Dejemos que $U_1$ sea el conjunto de números Impares positivos: $$\{1,3,5,7,\dots\}$$ Dejemos que $U_2$ sea el conjunto del doble de los números Impares positivos: $$\{2,6,10,14,\dots\}$$ Dejemos que $U_3$ sea el conjunto de cuatro veces los números Impares positivos: $$\{4,12,20,28,\dots\}$$

Dejemos que $U_n$ sea el conjunto de $2^{n-1}$ veces los números positivos de impar.

Es decir, los números de cada conjunto son el doble de los números del último conjunto. Ahora, los enteros positivos se han dividido en los conjuntos infinitos $U_n$ .