Prueba del teorema de la pizza

Question

¿Cómo probamos el Teorema de la Pizza?

Probé una coordenada bash (también involucré el concepto de encontrar áreas a través de una integración definida) ... Pero era demasiado complicado.

Lo leí en el siguiente enlace: http://en.wikipedia.org/wiki/Pizza_theorem

Answer 1

Lema. Considere la posibilidad de $n\geq2$ igualmente espaciados acordes a través del punto de $(a,0)$ de la unidad de disco, teniendo pendientes $\phi_k:=\phi_0+{k\pi\over n}$ $\>(1\leq k\leq n)$. Entonces la suma de los cuadrados de las $2n$ acorde resultante piezas es $2n$, independientemente de $\phi_0$.

Prueba. De la intersección de la línea de $s\mapsto (a+s\cos\phi, s\sin\phi)$ con la unidad de círculo podemos obtener la ecuación de $s^2+2as\cos\phi+a^2-1=0$. Si $s_1$ $s_2$ son sus dos soluciones que podemos decir que $$s_1^2+s_2^2=(s_1+s_2)^2-2s_1s_2=4a^2 \cos^2\phi-2(a^2-1)=2+2a^2\cos(2\phi).$$ Tomando nota de que $\sum_{k=1}^n\cos(2\phi_k)=0$ llegamos a la conclusión de que la suma de los $2n$ considera que las plazas se $2n$.

Prueba del Teorema. Supongamos que tenemos $4n\geq8$, igualmente espaciados, cuchillas, y deje $S(\phi)$ denotar la sombra de la pizza de la zona cuando una hoja de puntos en la dirección $\phi$. Al $\phi\mapsto r(\phi)$ es la representación polar de la circular de la pizza límite con respecto al centro de la fresa, entonces es fácil ver que $$S'(\phi)=\pm{1\over2}\sum_{k=1}^{4n} (-1)^k r^2\left(\phi+{k\pi\over2n}\right)\ .$$ Aquí el lado derecho es $\equiv0$, ya que la alternancia suma de los $4n$ hoja longitud de plazas se desvanece según el Lema. Entonces es fácil ver que $S(\phi)\equiv$ la mitad de la superficie de la pizza.

Aplicando el Teorema de a dos concéntricos pizzas de radios $1$ $1+\epsilon$ uno llega a la conclusión de que la "corteza de la zona" se reduce a la mitad, y así, en el límite de $\epsilon\to0+$ se deduce que las áreas sombreadas en conjunto abarcan la mitad de la circunferencia de la pizza.

Answer 2

Dibujar el círculo unidad y fijar un punto de $A(x,0)$ $x$- eje dentro de la unidad de disco con $x>0$

Dado un ángulo $\theta \in [0; \pi/2]$ nos hacen el corte en $8$ partes y color a las piezas alternando entre rojo y azul. Con el fin de demostrar el teorema es suficiente para demostrar que la función de $\theta \mapsto \text{red area}$ es constante :

si la zona roja es constante, entonces también lo es la zona azul, y moviendo $\theta$ $0$ $\pi/8$cambiamos las áreas roja y azul, por lo tanto el área debe ser igual.

Para mostrar que es constante podemos diferenciar la zona con respecto a $\theta$. Lo que tenemos es la diferencia entre el $4$ rodajas muy finas de ángulo de $d\theta$ colocados en ángulos $\theta + k\pi/2$, $4$ igualmente rodajas finas colocadas en ángulos $\theta + \pi/4 + k\pi/2$.

El área de una rebanada delgada colocada en $\theta$ y con ángulo de $d\theta$ $l^2d\theta/2$ donde $l$ es la longitud de la rebanada. Por la ley de los cosenos, tenemos que la $4$ longitudes son las soluciones positivas para las ecuaciones $1 = x^2 + l^2 \pm 2xl \cos\theta$$1 = x^2 + l^2 \pm 2xl \sin \theta$, los cuales son, si $c = x\cos \theta$ y $s = x\sin \theta$, $\sqrt{1-c^2} \pm s$ y $\sqrt{1-s^2} \pm c$.

La suma de los $l^2$ $((1-c^2)+s^2+2\sqrt{1-c^2}s) + ((1-c^2)+s^2-2\sqrt{1-c^2}s) + ((1-s^2)+c^2+2\sqrt{1-s^2}c) + ((1-s^2)+c^2+2\sqrt{1-s^2}c) = 4$ es realmente independiente de ambos $x$$\theta$.

Esto demuestra algo aún más fuerte : si nos fijamos en el área de la unidad de disco cubierto por una cruz que gira alrededor de su centro por un ángulo de $\theta$, luego esta área es $2\theta$.