Necesidad de probar la desigualdad$\sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{(n+k)} \ge \frac{2}{3}$

Question

Demuestre que para$n \geq 1$:

$$\sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{(n+k)} \ge \frac{2}{3}$ $ Probé la inducción matemática, pero no funcionó. Aunque estoy bastante seguro de que la solución se puede hacer por inducción

Answer 1

Sugerencia : intente mostrar que$\dfrac{1}{n+k}+\dfrac{1}{n+(n-k)} \ge \dfrac{4}{3n}$ para todos$0 \le k \le n$.

Answer 2

Muestre que la secuencia está disminuyendo, la diferencia entre los términos sucesivos es$$\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n}$ $. Es fácil probar que esto es negativo simplemente sumando las fracciones.

Ahora la secuencia son las sumas de Riemann para la integral$$\int_0^1 \frac{dx}{x+1}=\ln 2$$ so the lower bound is in fact $ \ ln 2 $

Ahora muestra que$\frac{2}{3} < \ln 2$

Answer 3

La suma dada es una suma superior de Riemann para$\int_{n}^{2n+1} \frac{dx}{x} = \log(2 + 1/n) > \log 2 > 2/3$.

No estoy seguro de si usar el cálculo es un método permitido.

Answer 4

Podemos reemplazar el límite inferior$\frac{2}{3}$ con$\frac{15}{22}$. Como$A_1=\frac{3}{2}$ y para cualquier$n\geq 1$$$A_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{n+k}=H_{2n}-H_{n-1}$ $ satisface:$$ A_{n}-A_{n+1} = \frac{6n+4}{2n(2n+1)(2n+2)} \leq\frac{3}{4}\left(\frac{1}{n-1/12}-\frac{1}{n+11/12}\right)$ $ tenemos:$$\begin{eqnarray*} A_n &=& A_1 + (A_2-A_1) + (A_3-A_2) + \ldots + (A_n-A_{n-1})\\ &\geq& \frac{3}{2}-\frac{3}{4}\sum_{j=1}^{n-1}\left(\frac{1}{j-1/12}-\frac{1}{j+11/12}\right)\geq \frac{3}{2}-\frac{3}{4}\cdot\frac{12}{11}=\frac{15}{22}>\frac{2}{3}.\end{eqnarray*}$ $ Para evitar desigualdades no triviales, podemos mostrar que el la secuencia$\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}^*}$ está disminuyendo y prueba que:$$ \lim_{n\to +\infty} A_n = \int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x} = \log 2$ $ por un argumento de Riemann-sums. Esto implica $A_n\geq \log 2>\frac{9}{13}$.

Answer 5

Denotar su suma por $S_n$. Supongamos que desea mostrar a través de la inducción de $S_n > a$ para un número $a$. Que no trabajo directamente desde $S_n$ está disminuyendo. Sin embargo, si se considera la suma de$k=1$$k=n$, denota por $S'_n$, ahora que está aumentando con la $n$ desde $$S'_{n+1} - S'_{n} = \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} - \frac{1}{n+1} >0$$ Así que usted puede mostrar que sólo $S'_n >a$ o, de manera equivalente, $S_n > a + 1/n$, es decir, lo suficientemente grande como $n$.

Deje $a=2/3$. Calculamos $S'_9 = 0.6661..$ $S'_{10}=0.6687..$ lo ha $S'_{10} > 2/3$ y luego, por inducción, $S'_n> 2/3$ todos los $n\ge 10$ o, de manera equivalente, $S_n > 2/3 + 1/n$$n \ge 10$.

Para completar la prueba también se debe comprobar que el $S_n > 2/3$ todos los $1\le n \le 9$. Esto es fácil ahora: $$ S_1 > S_2 > \ldots > S_{10} > S'_{10} > 2/3$$

En principio, esto podría funcionar para cualquier $a < \log 2$.