De su respuesta depende, como habrá adivinado en el proceso de $u \mapsto \sigma_u$.
Puede amplificar su enfoque utilizando el Ito-isometría con la BDG-desigualdad:
\begin{align}
\mathbb{E}[|\int_0^t\sigma_udW_u - & \int_0^s\sigma_u \,dW_u|^{2p}] \stackrel{\text{BDG}}{\leq} c(p) \mathbb{E}[(\int_s^t |\sigma_u|^2 \, du)^p] \\
& \leq c(p) \mathbb{E}[(t-s)^{p-1} \int_s^t |\sigma_u|^{2p} \, du] \quad (\text{Hölder-ineq. on} \int_s^t)\\
& = c(p) (t-s)^{p-1} \int_s^t \mathbb{E} [|\sigma_u|^{2p} ]\, du \, .
\end{align}
Aquí $(t-s)^{p-1}$ aparece a partir de la utilización de la desigualdad de Hölder con el integrando $1$. Ahora usted puede pensar de especificar algunas propiedades de integrabilidad de $u\to \sigma_u$: delimitado, de manera uniforme en $L^{2p}$, etc. y continuar con la prueba de Kolmogorov-Centsov teorema.
Creo, sin embargo, como usted pidió SDE, será suficiente para considerar que la situación:
$$ dX_t = \sigma(X_t) \, dW_t $$
donde $\sigma:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $W$ es un estándar de movimiento Browniano. Si suponemos una condición adicional, llamado el lineal de la condición de crecimiento en $\sigma$:
$$ |\sigma(x)| \leq c_1 (1+ |x|)\, , \quad x \in \mathbb{R} \, ,$$
su reclamo en casi Hölder $\frac{1}{2}$-regularidad es cierto. Con el fin de garantizar la existencia de una solución global (es decir, para todos los tiempos de $t\geq 0$) esta condición es muy natural.
Explicación:\
Usted necesidad de control sobre $\sup_{s\leq u \leq t} \mathbb{E}[|\sigma(X_u)|^{2p}]$ en ese caso.
Asumiendo esta condición de crecimiento, se tiene la siguiente estimación
$$ \mathbb{E}[|\sigma(X_u)|^{2p}] \leq (2c_1)^{2p} (1+ \mathbb{E}[|X_u|^{2p}] ) . $$
Así que tenemos la $p$-ésimo momento de la $X_u$. Podemos obtener un límite en que de nuevo el uso de BDG-desigualdad:
\begin{align}
\mathbb{E} [|X_u|^{2p}] & = \mathbb{E} [ |\int_0^u \sigma(X_v) \, dW_v |^{2p}] \\
& \leq c(p) \mathbb{E}[ (\int_0^u |\sigma(X_v)|^2 \, dv)^{p} ] \\
& \leq c(p) \mathbb{E} [u^{p-1} \int_0^u |\sigma(X_v)|^{2p} \, dv ] \quad (\text{Hölder-ineq. on} \int_0^u) \\
& \leq c(p) c_1^{2p}u^{p-1} \mathbb{E} [ \int_0^u (1+|X_v|)^{2p} \, dv ]\\
& \leq c(p) (2c_1)^{2p} u^{p-1} (u + \int_0^u \mathbb{E} [|X_v|^{2p}] \,dv ).
\end{align}
Ahora lo que necesita para aplicar Gronwall del lema para obtener una envolvente de C(c,c_1,c_0 ,p, u) a $\mathbb{E} [|X_u|^{2p}]$ con la propiedad de que $C(c,c_1,c_0,p, u) \leq C(c,c_1,c_0,p, t)$$u \leq t$. A continuación, puede continuar:
\begin{align}
\mathbb{E}[|X_t - X_s|^{2p}] & \leq c(p) (t-s)^{p-1} \int_s^t C(c,c_1,c_0,p,u) \, du \\
& \leq c(p) (t-s)^{p-1} \int_s^t C(c,c_1,c_0,p,t) \, du \\
& \leq c(p) C(c,c_1,c_0,p,t) (t-s)^p.
\end{align}
Esto le permite aplicar la prueba de Kolmogorov-Centsov.
Esto también funciona bien para la SDEs, incluyendo un término deriva $+b(X_t)\, dt$.
Como pedir referencias: la principal fuente de la descripción es un artículo de Dalang, sin embargo en la SPDE-regularidad: Teorema 13 en http://ejp.ejpecp.org/article/view/43/85
y también el apéndice en Mytnik, Perkins y Sturm,2006.
No es demasiado raro que este tipo de cálculo también se puede encontrar en un libro de texto sobre análisis estocástico.
