Prueba geométrica (o intuitiva) de la integración incorrecta de$\frac1x $

Question

Desde un punto de vista matemático, entiendo y puedo resolver el siguiente: $$ \lim_{M\rightarrow\infty} \int_1^M \left({1 \over x}\right) \rightarrow \infty $$ Además, $$ \lim_{M\rightarrow\infty} \int_1^M \left({1 \over x^2}\right) \rightarrow 1 $$

Todo esto hace sentido matemático para mí. Es la geometría de las piezas que me confundan. La familia de de $ 1/x^p $ gráficos de aspecto muy similar a mí, así que me pregunto por qué $ 1/x $ no concurre algún valor.

Sobre todo teniendo en cuenta el hecho de que cuando usted gire $ 1/x $ y calcular el volumen de esa forma; converge a algún valor. De nuevo, matemáticamente, esto tiene sentido porque:

$$ \lim_{M\rightarrow\infty}\int_1^M \left({1 \over x}\right) dx > \lim_{M\rightarrow\infty} \int_1^M \pi\left({1 \over x^2}\right) dx $$

Pero el geométrica implicaciones de esto son que una sección transversal de un objeto tiene una infinita área, pero el volumen es de algún valor finito.

Mis preguntas:

1. A través de una intuitiva o geométrica explicación, ¿por qué no $ 1\over x $ converge a algún valor?
2. ¿Por qué es el volumen descrito anteriormente finita, mientras que la sección transversal es infinito?

Edit: Cambiado $[]$ $()$

Answer 1

Aquí hay algo que puede ser útil geométricamente, tomado de un clásico argumento de la serie armónica.

Un argumento a favor de la divergencia de la serie armónica va como sigue:

$$ \begin{align} &\frac12 + \frac13 + \frac14 + \frac15 + \frac16 + \frac17 + \frac18 + \dots \\ > &\frac12 + \frac14 + \frac14 + \frac18+ \frac18+ \frac18+ \frac18 + \dots \\ = &\frac12 + \left(\frac14 + \frac14\right) + \left(\frac18+ \frac18+ \frac18+ \frac18\right) + \dots \\ = &\frac12 + \frac12 + \frac12 + \dots \end{align} $$

Vamos a traducir esto en nuestros integral. Imagine el área bajo la curva de $\frac1x$. Ajuste de un rectángulo de área $\frac12$ entre los puntos de $(1,0),(2,0),(1,\frac12),(2,\frac12)$ -- este dentro de la zona de la curva. Ajuste la siguiente rectángulo de área $\frac12$ entre los puntos de $(2,0),(4,0),(2,\frac14),(4,\frac14)$. En general el $i$th rectángulo se coloca entre los puntos de $(2^{i-1},0),(2^i,0),(2^{i-1},\frac1{2^i}),(2^i,\frac1{2^i})$. No hay dos rectángulos se superponen, y cada rectángulo tiene de área $\frac12$. Ya puedes ajuste infinito de rectángulos de igual área bajo la integral, se debe divergir.

Answer 2

Supongamos que $\lim_{M\rightarrow\infty} \int_1^M \dfrac{dx}{x} $ existe. Dejando $L$ ser este límite, $\lim_{M\rightarrow\infty} \int_1^M \dfrac{dx}{x} =L$ de modo que, para cualquier $c>0$ hay un $M(c)$ tal que $0 \lt L-\int_1^M \dfrac{dx}{x} \lt c$ para $M > M(c)$. La elección de una $M$, también tenemos $0 \lt L-\int_1^{2M} \dfrac{dx}{x} \lt c$ así que $0 \lt L-\int_1^{2M} \dfrac{dx}{x} =L-\int_1^{M} \dfrac{dx}{x}-\int_M^{2M} \dfrac{dx}{x} $ o $\int_M^{2M} \dfrac{dx}{x} \lt L-\int_1^{M} \dfrac{dx}{x} \lt c$.

Pero $\int_M^{2M} \dfrac{dx}{x} \gt \dfrac{M}{2M} =\dfrac12$.

Esta es una contradicción para $c < \dfrac12$.

Este es, por supuesto, una reformulación de la norma primaria de prueba que la suma de armónicos diverge.