Demuestre que$x^x+y^y=z^z$ no tiene soluciones enteras

Question

Demostrar que $x^x+y^y=z^z$ no tiene soluciones entero

Para ser honesto, no veo ninguna manera de empezar este problema, he intentado durante horas, pero no es tan fácil como yo pensaba.

Cualquier sugerencias?

Como se puede ver en los comentarios, hay una solución para los números naturales, el problema es cuando el conjunto se extiende a los enteros soluciones.

*Este es un problema para una olimpiada nacional en mi país, esta olimpiada por lo general pone todas las soluciones pero no he encontrado una solución para este problema en la página, no sé por qué.

Posible respuesta:

Propiedad:

Ser $A,B,C$ $\in \Bbb R$ $\ne 0$ tal que $A+B=C$. Entonces existe$U,V \in {A,B,C}$: $$2|U| \gt 2|V| \ge |U|$$

Prueba: Escribir $C'=-C$,$A+B+C'=0$. Los números de $A,B,C \ne 0$ por hipótesis, y que no puede ser el tres del mismo signo, porque entonces no pueden añadir $0$, por lo que hay son dos de los números de $A, B, C'$ que tienen el mismo signo y el otro tiene un signo distinto.

La amplificación de la igualdad $A+B+C'= 0$ $\,$ por $-1$ si es necesario, podemos asumir que hay dos de ellos (que vamos a llamar a $X,Y$) que son positivas y la tercera negativa (a la que llamaremos $-Z$,$Z\gt 0$). Luego tenemos a $Z=X+Y$ $X,Y,Z \gt 0$ y $X,Y,Z$ son igual a $|A|, |B| , |C|$ en un cierto orden.

WLOG podemos asumir que $X\le Y$ , entonces:

$$Z=X+Y\le 2Y \lt 2Y+2X = 2Z$$

La obtención de $2Z \gt 2Y \ge Z$ como queríamos.

Solución: Suponga que $$(1): \; x^x+y^y=z^z$$

ha entero de soluciones de $\ne 0$, vamos a $(x,y,z) = (a,b,c)$. De acuerdo a la propiedad, no existe enteros $\ne 0$ $(u,v) \in (a,b,c)$ tal que $2|u^u| \gt 2|v^v| \ge |u^u|$. Dividiendo por 2 y teniendo en $\log$ vemos que hay distinto de cero enteros $(u,v)$: $$u\log |u| \gt v\log |v| \ge u\log |u| - \log 2$$ Que puede ser escrito como: $$(2): \;0 \lt u\log |u| - v\log |v| \le \log 2$$

La desigualdad (2) dice que el $u\log|u| \gt 0$ o $v\log|v| \lt 0$, pero si $v \log |v| \lt 0$ : $$u \log |u| - v \log |v| = (-v)\log|-v|\;-\;(-u)\log |-u|$$ with $(-v)\log|-v| \gt 0$, so unless we make a substitution, we can assume that $u \log |u| \gt 0$. In this case, necessarily $u \ge 2$, por lo que la segunda desigualdad de (2) dice que: $$v \log |v| \ge u \log |u| - \log 2 \ge 2 \log 2 - \log 2 \gt 0$$

La coincidencia de este con la primera igualdad de (2) obtenemos: $$ log 2 \ge u \log |u| - v \log |v| \gt (v+1)\log |v| - v\log|v| = \log|v| \ge \log2$$ a contradiction. Thus $x^x+y^y=z^z$ no tiene ningún enteros solución.

Answer 1

Una prueba para enteros positivos.

Supongamos que$x$ y$y$ son enteros positivos con$x\le y$. Entonces $x^x+y^y<2y^y$. Podemos mostrar que$$ x^x+y^y \le 2y^y < (y+1)^{y+1}. $ $ Consideramos$$f(y) = (y+1)\log(y+1)-y \log y - \log 2.$ $ Nota$f(1)>0$ y$$f'(y) = \log(y+1) -\log y > 0$$ for all $ y> 0 $. Por lo tanto,$f(y)>0$ para todos$y>0$ y así$$2y^y < (y+1)^{y+1}$$ for all $ y> 0$. Thus $ x ^ x + y ^ y <(y +1) ^ {y +1}$ and so $ x ^ x + y ^ y = z ^ z $ no tiene soluciones en enteros positivos.

Answer 2

Esto es una prueba para enteros positivos. Obviamente,$z> x,y$ y además$x\neq y.$ Si no es así, entonces$2 = \dfrac{z^z}{x^x}\geq\dfrac{(x+1)^{x+1}}{x^x} >x+1$, entonces$x=1.$ Pero luego$z^z = 2$ no tiene una solución entera. Por lo tanto, suponga$x<y<z$ o$z = x+m+n$,$y = x+m$ con$n,m\geq1.$ Luego tenemos la ecuación:

$$1 = \left(\dfrac{x}{x+m+n}\right)^{x}\dfrac{1}{(x+m+n)^{m+n}}+\left(\dfrac{x+m}{x+m+n}\right)^{x+m}\dfrac{1}{(x+m+n)^{n}}.$ $ Ahora note que$f(a) = \dfrac{a^a}{(a+t)^a} = \dfrac{1}{(1+\frac{t}{a})^a}$ está disminuyendo en$a$ que converge en$e^{-t}.$ En particular,$f(a)\leq f(1)=\dfrac{1}{t+1}.$ Esto y el límite obvio$x,n,m\geq 1,$ sigue eso:$$1\leq \dfrac{1}{1+m+n}\cdot \dfrac{1}{9}+\dfrac{4}{(2+n)^2}\cdot \dfrac{1}{3}\leq \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{9}+\dfrac{4}{9}\cdot\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{27},$ $

una contradicción