Comprobar/refutar eso √7 - √2 es irracional

Question

Se ha demostrado que √7 y √2 son irracionales.

Sin embargo, no estoy seguro de cómo ir sobre probar que √7 - √2. Es una prueba aceptable sólo resolver la ecuación que resultaría/refutar la ecuación o como la prueba debe llevarse a cabo como un contrapositivo, de forma similar a √7 y √2 han demostrado ser irracional.

¿Qué sería de una prueba válida/refutación de la irracionalidad en este caso?

Answer 1

Supongamos que $\sqrt{7}-\sqrt{2}$ eran racional; es decir, supongamos $$ \sqrt{7}-\sqrt{2}=\frac{a}{b} $$ donde $\text{gcd}(a,b)=1$. Multiplique ambos lados de la ecuación por $\sqrt{7}+\sqrt{2}$ para obtener $$ 5=7-2=(\sqrt{7}-\sqrt{2})(\sqrt{7}+\sqrt{2}) = \frac{a}{b}(\sqrt{7}+\sqrt{2}). $$ $\frac{5b}{a}\in\mathbb{Q}$, $\sqrt{7}+\sqrt{2}$ También es un número racional. Puesto que la suma de dos números racionales es racional, $$ (\sqrt{7}-\sqrt{2)} + (\sqrt{7}+\sqrt{2)} = 2\sqrt {7} $ es racional. Así $\sqrt{7}$ es racional. Esto es una contradicción.

Answer 2

Sugerencia: suponga que $\,\sqrt{7}-\sqrt{2}\,$ eran racional, entonces así sería $\,\dfrac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}=\sqrt{7}+\sqrt{2}\,$, entonces así sería su diferencia $\,2 \sqrt{2}\,$.

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[ Editar ] Siguiendo con el comentario anterior: que $\,x=\sqrt{7}-\sqrt{2}\,$, entonces el $\,x^2=9-2\sqrt{14}\,$, entonces el $(x^2-9)^2=4 \cdot 14 \iff x^4 - 18 x^2 + 25 = 0\,$. Pero la última ecuación no tiene ninguna raíz racional, puesto que por el Teorema de la raíz racional las tales raíces podrían ser $\,\pm1, \pm5, \pm25\,$ que ninguno trabaja.

Answer 3

Supongamos que $\sqrt{a}-\sqrt{b} = r $ es racional.

Cuadrar esto, $a+b-2\sqrt{ab} = r^2$, $\sqrt{ab}$ está tan racional.

Si $\sqrt{ab}$ es irracional, esto no puede llevar a cabo.

Por lo tanto, si el $\sqrt{ab}$ es irracional, así que es $\sqrt{a}-\sqrt{b}$.

$\sqrt{14}$ Es irracional, así que es $\sqrt{7}-\sqrt{2}$.

Tenga en cuenta que esto funciona para $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ también.

Nota 2: Hay muchas pruebas aquí que si $n$ no es un cuadrado perfecto entonces $\sqrt{n}$ es irracional.