¿Los campos son secciones de un paquete asociado a un paquete de % de $\mathrm{SO}(1,3)$o a un paquete de grupo de calibre?

Question

En la Teoría del Campo Cuántico las partículas están asociadas a unitaria de las representaciones del grupo de Poincaré y los campos son clasificados de acuerdo a las representaciones irreducibles del grupo de Lorentz.

En el caso de campos, cada representación irreducible del grupo de Lorentz se caracteriza por $(j_1,j_2)\in \frac{1}{2}\mathbb{Z}^+$. Esto conduce a la siguiente situación:

1. Dado que un campo debe tomar el valor de una representación en el espacio de algunos representación irreducible del grupo de Lorentz, parece natural que los campos deben ser secciones de los asociados paquete para el principal marco de paquete de $P_{SO_e^+(1,3)}M$ más de espacio-tiempo que se caracteriza por la representación de $(j_1,j_2)$ en cuestión. Esto significa que para cada una de las $(j_1,j_2)$ queremos construir el asociado paquete a la estructura de paquete relacionadas con esta representación y los campos serían las secciones de dicho paquete.

2. Por otro lado, hay invariancia gauge. Cuando tenemos la invariancia gauge tenemos una derivada covariante a la par de campos para el medidor de campo. Vamos a tomar QED como ejemplo de sencillez. La carga de los campos que interactúan con los campos EM, se debe transformar en una forma particular bajo calibre transformaciones. En otras palabras, el grupo gauge $U(1)$ actúa sobre ellos. Para un acusado de escalar campo $\phi$ por ejemplo, debemos tener la $$\phi(x)\mapsto e^{-i\alpha(x)}\phi(x).$$

   En este caso, parece que los campos deben ser de la sección de un paquete asociado a una entidad de $U(1)$ paquete. No está claro lo principal de este paquete es (el trivial paquete está siempre disponible, pero no parece físicamente motivado).

   Además, un indicador derivada covariante actúa sobre estos campos. De nuevo, esto sólo puede ser si estos campos son secciones de un paquete asociado a una entidad de $U(1)$ paquete con una conexión.

3. Hay, además, el potencial en sí $A$. A pesar de que empieza como un campo en el sentido de (1) anterior, termina siendo un indicador dependiente de la representante de una conexión 1-forma en el principal paquete descrita en (2). Si eso es cierto, entonces debe ser una sección del paquete de $E\otimes T^\ast M$ $E$ el trivial bundle $M\times \mathfrak{u}(1)$.

Ahora mi pregunta es: ¿cómo podemos reconcille estas tres cosas? Primero los campos deben ser apartados paquete asociado a la principal paquete de ortonormales de marcos, pero con la teoría de gauge terminan necesitando secciones de un paquete asociado a un director de paquete, que no está claro cuáles son las principales paquete es. Finalmente, el medidor de campo termina siendo una conexión de un formulario, por lo que es una sección de un tipo totalmente diferente de paquete.

A grandes rasgos el problema es que (1) sugiere que los campos son secciones de un paquete, (2) sugieren que son de otro, y no pueden ser secciones de ambos al mismo tiempo.

Cómo todas estas cosas pueden ser verdad al mismo tiempo?

Answer 1

Los campos son secciones de un asociado de paquete de $E \xrightarrow{\pi_E} M$ más de un colector $M$, con una estructura de grupo $G$, que es, por ejemplo, $\operatorname{SU}(3)$ en el caso de QCD.

El grupo de todas las transformaciones gauge $\operatorname{Gau}(E)$ es un grupo de paquete de automorfismos, es decir, no cambia la estructura del paquete. Estas transformaciones trabajo fiberwise y proyecto en la identidad diffeomorphism de la base del espacio. Por ejemplo, para una (sin indicador) vector de campo de esta transformación toma la forma: $$V_{\mu}^{'A}(x) = \pi(g(x))^A_B V_{\mu}^B(x)$$

donde $\pi$ es la estructura del grupo de representación en $E$. Esta transformación es pointwise y no actuar en el espacio del tiempo de los índices. Es un llamado interno automorphism.

Sin embargo, estas transformaciones no se agotan con el paquete de automorfismos. Para una clase de paquetes llamados naturales haces, más general, de las transformaciones de preservar la estructura del paquete: $$V_{\mu}^{'A}(x') = \frac{\partial_{\mu}x'}{\partial_{\nu}x}\pi(g(x))^A_B V_{\nu}^B(x)$$ Esta transformación incluye un trivial diffeomorphism así como un indicador de la transformación, y los proyectos para un trivial diffeomorphism en la base múltiple: $x \rightarrow x'$.

Lo anterior muestra que el grupo de todo el paquete de automorfismos $Aut(E)$ se descompone de acuerdo a la siguiente secuencia exacta: $$0 \rightarrow \operatorname{Gau}(E) \rightarrow \operatorname{Aut}(E) \rightarrow \operatorname{diff}(M)\rightarrow 0$$ Por favor, consulte la parte introductoria de la siguiente obra : Stachel y Iftime.

El grupo de Lorentz $\operatorname{SO}(3,1)$ en esta foto es sólo un subgrupo de $\operatorname{diff}(M)$. En el caso de que M es un espacio de Minkowski, a continuación, el grupo de Lorentz es un subgrupo del grupo de Poincaré que el automorphism grupo de el espacio de Minkowski.

Cualquier paquete de tensor de campos y formularios en la base del colector tiene la estructura anterior de un paquete, porque diffeomorphisms puede ser canónicamente levantado a las fibras. Sin embargo , existen importantes paquetes si no hay un canónica ascensor. El ejemplo más importante es el spinor bundle, donde no tenemos una forma canónica para definir un diffeomorphism (general de transformación de coordenadas). Necesitamos introducir vielbeins, es decir, las secciones de un marco de paquete.

El spinor paquete pertenece a una familia llamada indicador natural de paquetes, en la cual toda la diffeomorphism grupo no puede ser elevado a un paquete de automorphism, sin embargo, un subgrupo de los cuales, a saber, el grupo de isometría puede ser levantada por medio de lo que se conoce como la Kosmann ascensor. En particular, este ascensor define una Mentira derivado (es decir, un local diffeomorphism) de un spinor a lo largo de matar a un vector. Por favor, consulte la siguiente revisión por Fatibene, Ferraris, Francaviglia y Godina. Algunos elaboración de la Kosmann ascensor se da en este PSE pregunta.

En el caso de que el espacio de Minkowski con la métrica de Minkowski, la Kosmann ascensor permite el levantamiento de la acción del grupo de Lorentz para spinor campos, ya que una transformación de Lorentz es una isometría.